Проєктивно розширена числова пряма

На ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ немає жодного природного лінійного порядку, оскільки немає ніякого природного способу визначити, більша нескінченність від деякого числа чи менша. Однак на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ визначено циклічний порядок. Його можна уявити як напрямок руху по колу від 0 до ∞ проходячи через 1. Тобто ${\displaystyle [a,b,c]}$ якщо вони йдуть одне за одним під час руху вздовж кола в тому ж напрямку, в якому йдуть одне за одним 0, 1 і ∞. Таким чином, під час руху по цьому порядку від 0 ми проходимо за зростанням усі додатні числа, потім нескінченність, потім усі від'ємні, а потім знову 0.

Формально цей порядок визначається такими співвідношеннями:[4]

${\displaystyle [a,b,c]\Leftrightarrow a<b<c}$

${\displaystyle [\infty ,b,c]\Leftrightarrow b<c}$

${\displaystyle [a,\infty ,c]\Leftrightarrow a>c}$

${\displaystyle [a,b,\infty ]\Leftrightarrow a<b}$

випадки, коли нескінченностей більше однієї, завжди хибні

Тут все ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

Циклічний порядок визначає на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ інтервали як множини вигляду ${\displaystyle \{x|[a,x,b]\}}$ (окремо визначаються інтервали вигляду ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\backslash \{a\}}$). У звичайних позначеннях це можна переписати так:[5]

Інтервалом у ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ називається або множина вигляду ${\displaystyle (a;b)}$, або ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)}$ для деяких ${\displaystyle a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}}$.

Відрізком у ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ називається або множина вигляду ${\displaystyle [a;b]}$, або ${\displaystyle \{\infty \}\cup (-\infty ;b]}$, або ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \}}$, або ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]}$ для деяких ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Напівінтервалом у ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ називається або множина вигляду ${\displaystyle (a;b]}$, або ${\displaystyle [a;b)}$, або ${\displaystyle [a;+\infty )}$, або ${\displaystyle (-\infty ;b]}$, або ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \}}$, або ${\displaystyle (-\infty ;b)\cup \{\infty \}}$, або ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]}$, або ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)}$ для деяких ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Іноді для таких проміжків використовують звичайні позначення ${\displaystyle (a,b),[a,b],(a,b]}$, які розуміються в зазначеному вище сенсі. Тобто ${\displaystyle (a,b)=\{x|[a,x,b]\}}$, ${\displaystyle [a,b]=(a,b)\cup \{a,b\}}$, ${\displaystyle (a,b]=(a,b)\cup \{b\}}$, ${\displaystyle [a,b)=(a,b)\cup \{a\}}$, ${\displaystyle a\neq b}$. За таких позначень (з лівого боку рівності у визначеному вище сенсі, з правого — в звичайному) ${\displaystyle (0,1)=(0,1)}$, ${\displaystyle (1,0)=(1,+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ,0)}$. Запис ${\displaystyle (a,a)}$ визначається як ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\backslash \{a\}}$.

Циклічний порядок на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ визначає топологію: відкритою вважається множина, подавана у вигляді об'єднання інтервалів (інтервали розуміються у визначеному вище сенсі). Ця топологія є ніщо інше, як об'єднання відкритих множин ${\displaystyle \mathbb {R} }$ з околами нескінченності.

ε-околом ∞ називається множина ${\displaystyle \left({\frac {1}{\varepsilon }};+\infty \right)\cup \{\infty \}\cup \left(-\infty$ ;-{\frac {1}{\varepsilon }}\right)} . Будь-який окіл нескінченності містить деякий ε-окіл нескінченності.

Проколотим ε-околом ∞ називається множина ${\displaystyle \left({\frac {1}{\varepsilon }};+\infty \right)\cup \left(-\infty$ ;-{\frac {1}{\varepsilon }}\right)} .

Без визначення інтервалів топологію на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ можна було б увести в такий спосіб. Визначимо проколотий окіл нескінченності, як деяку відкриту множину в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, яка містить у собі деякий ε-окіл нескінченності. Тоді околом нескінченності назвемо проколотий окіл нескінченності з доданою до нього нескінченністю. Тоді топологія на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ це об'єднання топології ${\displaystyle \mathbb {R} }$ із множиною околів нескінченності.

Проєктивно розширена числова пряма є компактним гаусдорфовим простором, гомеоморфним колу. Вона є одноточковою компактифікацією числової прямої і являє собою її компактифікацію Александрова.

В ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ можна звично визначити границю при прямуванні аргументу до нескінченності ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$. Також, запис ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\infty }$ набуває звичньго для нього в топології сенсу.

В ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ існують деякі границі, які не існують в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і навіть в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. Так, границя ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}}$ не існує в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, але існує в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ і дорівнює ${\displaystyle \infty }$. У свою чергу, якщо границя існує в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, то вона існує і в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$. При цьому, якщо межа в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ скінчення, то в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ вона дорівнює тому ж значенню, а якщо нескінченна, то дорівнює ${\displaystyle \infty }$.

Стандартні операції в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ поширюються на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ за неперервністю. У багатьох випадках таке поширення неможливе, тому операції стають частково визначеними.[1]

${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty ,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle \infty +\infty }$ — не визначено

${\displaystyle a-\infty =\infty -a=\infty ,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle \infty -\infty }$ — не визначено

${\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty ,\quad a\neq 0}$

${\displaystyle 0\cdot \infty ,\infty \cdot 0}$ — не визначено

${\displaystyle {\frac {\infty }{a}}=\infty ,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$ — не визначено

${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty ,\quad a\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ — не визначено

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ одна з небагатьох структур, що допускають ділення на 0 .

Такі рівності означають: ліві частини або обидві не визначені, або рівні:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}}$

Такі рівності істинні, якщо їх права частина визначена:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a=(a+b)-b&=\,\,(a-b)+b\end{aligned}}}$

Проєктивно розширена числова пряма є проєктивною прямою, отриманою з афінної прямої ${\displaystyle \mathbb {R} }$ додаванням нескінченно віддаленої точки. Проективні перетворення цієї прямої мають вигляд

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c}},&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$

Такі перетворення називаються перетвореннями Мебіуса. Їх властивості багато в чому схожі на властивості їх комплексних аналогів:[2]

• Множина перетворень Мебіуса з операцією композиції утворює групу.
• Для будь-яких двох трійок ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$, у кожній з яких точки попарно різні, існує єдине перетворення Мебіуса, що переводить ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ в ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$.
• Функція є перетворенням Мебіуса тоді й лише тоді, коли вона зберігає ангармонічне відношення.
• Функція є перетворенням Мебіуса тоді і лише тоді, коли її можна подати у вигляді композиції відбиттів та інверсій.

Афінно розширена числова пряма

• Cantrell D. W. Projectively Extended Real Numbers. Wolfram Math World (англ.). Weisstein E. W. Процитовано 18 квітня 2021.
• Nam-Hoon Lee. Geometry: from Isometries to Special Relativity. — Springer International Publishing, 2020. — 258 p. — (Undergraduate Texts in Mathematics) — ISBN 9783030421014.
• Emanuello J. A., Nolder C. A. Projective Compactification of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ and Its Möbius Geometry // Complex Analysis and Operator Theory : журнал. — Orange, CA USA, 2015. — No. 9 (2). — P. 329–354. — ISSN 1661-8262. — DOI:10.1007/s11785-014-0363-5.
• Extended real numbers. nLab (англ.).
• Warwick Tucker. Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. — Princeton University Press, 2011. — 152 p. — ISBN 9781400838974.