Підстановки Ейлера

Використовується тоді, коли ${\displaystyle a>0}$ .Здійснюється заміна:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t\pm {\sqrt {a}}x}$

Розв'язавши відносно ${\displaystyle x}$, знаходимо

${\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}.}$

У цій підстановці можна вибрати додатній або від'ємний знак.

Використовується тоді, коли ${\displaystyle c>0}$ .Здійснюється заміна

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm xt\pm {\sqrt {c}}}$.

Як і у попередньому випадку розв'язуємо відносно ${\displaystyle x}$ і знаходимо

${\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}$

Знову ж можна вибрати додатній або від'ємний знак.

Якщо многочлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ має дійсні корені ${\displaystyle \alpha }$ та ${\displaystyle \beta }$, то виконуємо заміну:

${\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t.}$

як і в попередніх випадках, ми можемо представити підінтегральну функцію, як раціональний вираз від ${\displaystyle t}$.

В інтегралі

${\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}},}$

можна використовувати першу підстановку Ейлера: ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t}$, тоді

${\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}},\quad {\rm {d}}x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {x^{2}+c}}={\frac {t^{2}+c}{2t}}.}$

Відповідно, отримуємо

${\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\dfrac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\dfrac {t^{2}+c}{2t}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {{\rm {d}}t}{t}}=\ln |t|+C=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+c}}\right|+C.}$

Для ${\displaystyle c=\pm 1}$ отримуємо відповідно формули:

${\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\operatorname {arcsh} (x)+C,}$

${\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\operatorname {arcch} (x)+C,\quad x>1.}$

Для інтегрування

${\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}\,{\rm {d}}x}$

використовуємо першу підстановку Ейлера ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}=x+t.}$ Після піднесення обох частин до квадрату отримуємо

${\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}.}$

та знаходимо ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}.}$

Далі знаходимо співвідношення між ${\displaystyle {\rm {d}}x}$ та ${\displaystyle {\rm {d}}t}$

${\displaystyle {\rm {d}}x={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}\,{\rm {d}}t.}$

Таким чином,

${\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {\dfrac {-2t^{2}+8t+8}{\left(4-2t\right)^{2}}}{\left({\dfrac {t^{2}+4}{4-2t}}\right)\left({\dfrac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}}\right)}}{\rm {d}}t=2\int {\frac {{\rm {d}}t}{t^{2}+4}}=\operatorname {arctg} \left({\frac {t}{2}}\right)+C=\operatorname {arctg} \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}}\right)+C.}$

В інтегралі

${\displaystyle \int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}}$

можна застосувати другу підстановку Ейлера ${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+x+2}}=xt+{\sqrt {2}}.}$ Звідси знаходимо ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle {\rm {d}}x}$

${\displaystyle x={\frac {1-2{\sqrt {2t}}}{t^{2}+1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}.}$

Відповідно, отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {{\rm {d}}x}{x{\sqrt {-x^{2}+x+2}}}}&=\int {\frac {\dfrac {2{\sqrt {2}}t^{2}-2t-2{\sqrt {2}}}{\left(t^{2}+1\right)^{2}}}{{\dfrac {1-2{\sqrt {2}}}{t^{2}+1}}\cdot {\dfrac {-{\sqrt {2}}t^{2}+t+2}{t^{2}+1}}}}\,{\rm {d}}t\\&=\int {\frac {-2}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t={\frac {1}{\sqrt {2}}}\int {\frac {-2{\sqrt {2}}}{-2{\sqrt {2}}t+1}}{\rm {d}}t\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\ln \left|2{\sqrt {2}}t-1\right|+C\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}\ln \left|2{\sqrt {2}}{\frac {\sqrt {-x^{2}+x+2}}{x}}-1\right|+C.\end{aligned}}}$

Для того, щоб проінтегрувати

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x,}$

можна використати третю підстановку Ейлера

${\displaystyle {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\sqrt {-(x-2)(x-1)}}=(x-2)t,}$

Звідси знаходимо ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle {\rm {d}}x}$:

${\displaystyle x={\frac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}},\quad {\rm {d}}x={\frac {2t}{{-t^{2}-1}^{2}}}\,{\rm {d}}t,\quad {\sqrt {-x^{2}+3x-2}}={\frac {t}{-t^{2}-1}}.}$

Підставимо всі дані у початковий інтеграл

${\displaystyle \int {\frac {x^{2}}{\sqrt {-x^{2}+3x-2}}}{\rm {d}}x=\int {\frac {\left({\dfrac {-2t^{2}-1}{-t^{2}-1}}\right)^{2}\cdot {\dfrac {2t}{\left({-t^{2}-1}^{2}\right)}}}{\dfrac {t}{-t^{2}-1}}}{\rm {d}}t=\int {\frac {2\left(-2t^{2}-1\right)^{2}}{\left(\left(-t^{2}-1\right)^{2}\right)^{3}}}\,{\rm {d}}t.}$

Як можна побачити, це інтеграл від раціональної функції, який можна проінтегрувати за допомогою метод невизначених коефіцієнтів.