Метод невизначених коефіцієнтів

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння виду

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=g(x).}$

Метод полягає у знаходженні загального однорідного розв'язку ${\displaystyle y_{c}}$ для відповідного однорідного диференціального рівняння.

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{(n-1)}y^{(n-1)}+...+a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

і окремого розв'язку ${\displaystyle y_{p}}$ лінійного неоднорідного диференціального рівняння. тоді загальний розв'язок ${\displaystyle y}$ неоднорідного звичайного диференціального рівняння буде

${\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.}$[2]

Якщо ${\displaystyle g(x)}$ є сумою двох функцій ${\displaystyle h(x)+w(x)}$ і ми кажемо, що ${\displaystyle y_{p_{1}}}$ це розв'язок базований на ${\displaystyle h(x)}$ і ${\displaystyle y_{p_{2}}}$ розв'язок базований ${\displaystyle w(x)}$. Тоді, використання принципу суперпозиції дає нам окремий розв'язок ${\displaystyle y_{p}}$:

${\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.}$[2]

Задля віднайдення окремого розв'язку, ми маємо вгадати його форму, з деякими коефіцієнтами як змінними, які ми повинні знайти. Таблиця деяких типових функцій і здогадок до них:

Функція від x	Форма y
${\displaystyle ke^{ax}\!}$	${\displaystyle Ce^{ax}\!}$
${\displaystyle kx^{n}\mathrm {,} \;n=0,1,2,\cdots \!}$	${\displaystyle K_{n}x^{n}+K_{n-1}x^{n-1}+\cdots +K_{1}x+K_{0}\!}$
${\displaystyle k\cos(ax)\;\;\mathrm {or} \;\;k\sin(ax)\!}$	${\displaystyle K\cos(ax)+M\sin(ax)\!}$
${\displaystyle ke^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;ke^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!}$
${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\sin(bx)\!}$	${\displaystyle e^{ax}\left(\left(\sum _{i=1}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=1}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)}$

Якщо вираз окремого розв'язку зустрічається в однорідному розв'язку, необхідно помножити його на достатньо великий степінь x для отримання незалежних розв'язків. Якщо функція від x це сума термів з наведеної таблиці, окремий інтеграл можна вгадати як суму відповідних термів для y.[1]

Розглянемо рівняння

${\displaystyle x''(t)+16x(t)=8\cos \omega t}$

однорідний розв'язок ${\displaystyle x_{h}=c_{1}\cos 4t+c_{2}\sin 4t,}$ тобто ${\displaystyle \omega _{0}=4,}$ якщо частота вхідної функції (власна частота) також 4, тоді ми повинні помножити пробний розв'язок на ${\displaystyle t.}$ Отже пробний розв'язок такий:

${\displaystyle x(t)={\begin{cases}d_{1}\cos \omega t+d_{2}\sin \omega t,&{\mbox{if }}\omega \neq 4\\t(d_{1}\cos \omega t+d_{2}\sin \omega t)&{\mbox{if }}\omega =4\end{cases}}}$

Таким чином, ми спостерігаємо резонанс коли ${\displaystyle \omega _{0}=\omega .}$