Радикал (теорія кілець)

• Радикал ідеалу теж є ідеалом.

Нехай ${\displaystyle P\;}$ деяке комутативне кільце, a ${\displaystyle x,y\in P}$ два елементи, що належать радикалу ідеалу ${\displaystyle I\,}$. Нехай ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ такі, що ${\displaystyle x^{m}=0\;}$ та ${\displaystyle y^{n}=0\;}$. З комутативності ${\displaystyle x\;}$ і ${\displaystyle y\;}$ можна використати формулу бінома Ньютона для ${\displaystyle (x+y)^{m+n}\;}$:

${\displaystyle (x+y)^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}{\binom {m+n}{k}}x^{k}y^{m+n-k}}$

При ${\displaystyle 0\leqslant k<m\;}$ маємо ${\displaystyle m+n-k>n\;}$, тоді ${\displaystyle y^{m+n-k}\in I\;}$ і доданки, що відповідають тим індексам ${\displaystyle k\;}$ рівні нулю. Однак при ${\displaystyle k\geqslant m\;}$, одержується ${\displaystyle x^{k}=0\;}$. Тобто всі доданки належать ${\displaystyle I\,}$ і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, ${\displaystyle x+y\;}$ є елементом радикалу ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$.

Далі якщо ${\displaystyle r\in R}$ — деякий елемент кільця і ${\displaystyle a\in {\sqrt {I}}}$ — елемент радикалу такий, що ${\displaystyle a^{n}=0\,}$, тоді ${\displaystyle (ar)^{n}=a^{n}r^{n}=0\,}$ тобто ${\displaystyle ar\in {\sqrt {I}}}$, що доводить твердження.

• Радикал ідеалу ${\displaystyle I\,}$ рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять ${\displaystyle I\,}$.(Див. статтю Простий ідеал).

Нехай ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — кільце цілих чисел.

1. Радикал ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ чисел, що діляться на 4 рівний ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$.
2. Радикал ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$ рівний ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$.
3. Радикал ${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$ рівний ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$.

• David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.