Робастне керування

Загальна канонічна задача робастного управління математично описується в наступному вигляді:

Головним завданням синтезу робастних систем управління є пошук закону керування, який зберігав би вихідні змінні системи і сигнали помилки в заданих допустимих межах незважаючи на наявність невизначеностей в контурі управління. Невизначеності можуть приймати будь-які форми, однак найбільш істотними є шуми, нелінійності і неточності в знанні передавальної функції об'єкта управління.

Загальна канонічна задача робастного управління математично описується в наступному вигляді:

Нехай передавальна функція об'єкта керування –${\displaystyle \ P(s)}$. Необхідно синтезувати такий контролер з передаточною функцією ${\displaystyle \ F(s)}$, щоб передавальна функція замкнутої системи${\displaystyle \ T_{y1u1}}$ задовольняла наступному рівнянню,яке називається критіерієм робастності:

${\displaystyle {\frac {1}{K_{M}(T_{y1u1}(j\omega ))}}\;<1}$

де

${\displaystyle \ K_{M}(T_{y1u1}(j\omega ))=\inf[\sigma _{n}(\Delta )|det((I-T_{y1u1})\Delta )=0]}$

${\displaystyle \Delta }$ —матриця невизначеності

${\displaystyle \sigma _{n}}$ — ${\displaystyle \ n}$-е сингулярное число матриці

${\displaystyle K_{M}}$можна розглядати як «розмір» найменшою невизначеності на кожній частоті, яка може зробити систему нестійкою. Для того, щоб внести в робастний синтез вимоги щодо якості управління, використовується фіктивна невизначеність ${\displaystyle \Delta _{n}}$При її відсутності завдання є завданням забезпечення робастної стійкості.У робастний аналізі потрібно знайти ${\displaystyle K_{M}}$ як кордон стійкості, в робастний ж синтезі потрібно визначити передавальну функцію контролера для відповідності критерію робастності.

Структурні і неструктурні невизначеності

У робастний управлінні розглядаються два види невизначеностей - структурні і неструктурні. Неструктурні невизначеності зазвичай представляють собою елементи, залежні від частоти, такі як, наприклад, насичення в силових приводах або обурення в низькочастотної області АФЧХ об'єкта управління. Вплив неструктурних невизначеностей на номінальний об'єкт управління може бути як адитивним

${\displaystyle G=G_{nom}+\Delta _{A}}$

так і мультиплікативним

${\displaystyle G=(I+\Delta _{M})G_{nom}}$

Структурні невизначеності є зміни в динаміці об'єкта управління, наприклад:

• Невизначеності в елементах матриць простору станів (A, B, C, D).

• Невизначеності в нулях або полюсах передавальної функції об'єкта управління.

Загальний підхід, сформульований в канонічній задачі робастного управління, дозволяє виявити на етапі проектування як структурні, так і неструктурні невизначеності і використовувати їх в процесі синтезу робастного контролера.

Робастний аналіз

Метою робастного аналізу є пошук такої невизначеності ${\displaystyle \Delta }$,при якій система стає нестійкою. В ході аналізу вирішуються два завдання:

1. Визначення моделі невизначеностей
2. Приведення структурної схеми системи до стандартного ${\displaystyle M-\Delta }$ увазі, коли все невизначеності структурно відокремлюються від номінальної схеми системи.

По теоремі про робастной стійкості система${\displaystyle M-\Delta }$ стійка при будь-яких ${\displaystyle \Delta (s)}$, що задовольняють нерівності

${\displaystyle \sigma (\Delta (j\omega ))<{\frac {1}{\sigma [M(j\omega )]}}}$

Ця теорема забезпечує достатні умови робастної стійкості. Існують також спеціальні методи робастного аналізу, такі як діагональне масштабування або аналіз за власними числах. Слід зауважити, що мала зміна ${\displaystyle \Delta }$ ніколи не тягне за собою великі зміни${\displaystyle \sigma (\Delta )}$, тобто аналіз за сингулярними числами краще підходить для робастного управління, ніж аналіз за власний вектор.

• Робастні системи керування 2019