Простір станів (теорія керування)

Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.

Визначення

Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи, а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі фазовою траєкторією.[B: 1][B: 2][A: 1]

У просторі станів створюється модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO-системами.

Лінійні неперервні системи

Структурна схема неперервної лінійної системи, описаної у вигляді змінних стану

Для випадку лінійної системи з входами, виходами і змінними стану опис має вигляд:

де

 ;  ;  ;
, , , ,  :
 — вектор стану, елементи якого називають станами системи
 — вектор виходу,
 — вектор керування,
 — матриця системи,
 — матриця керування,
 — матриця виходу,
 — матриця прямого зв'язку.

Часто матриця є нульовою, це означає, що в системі немає явного прямого зв'язку .

Дискретні системи

Для дискретних систем запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних, а на різницевих рівняннях:

Нелінійні системи

Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:

або в компактнішій формі:

.

Перше рівняння — це рівняння стану, друге рівняння виходу.

Лінеаризація

У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки . У сталому режимі для робочої точки справедливий такий вираз:

Вводячи позначення:

Розклад рівняння стану в ряд Тейлора, обмежений першими двома членами дає такий вираз:

При взятті часткових похідних вектор-функції за вектором змінних станів і вектором вхідних впливів виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:

.

Аналогічно для функції виходу:

З огляду на , лінеаризований опис динамічної системи в околі робочої точки набуде вигляду: де

.

Приклади

Модель у просторі станів для маятника

Маятник є класичною вільною нелінійною системою. Математично рух маятника описує таке співвідношення:

де

  •  — кут відхилення маятника.
  •  — зведена маса маятника
  •  — прискорення вільного падіння
  •  — коефіцієнт тертя в підшипнику підвісу
  •  — довжина підвісу маятника

У такому випадку рівняння в просторі станів матимуть вигляд:

де

  •  — кут відхилення маятника
  •  кутова швидкість маятника
  •  кутове прискорення маятника

Запис рівнянь стану в загальному вигляді:

.

Лінеаризація моделі маятника

Лінеаризована матриця системи для моделі маятника в околі точки рівноваги має вигляд:

За відсутності тертя в підвісі k = 0 отримаємо рівняння руху математичного маятника:

Див. також

Література

  • книги
  1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г.. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М. : Наука, 1967.
  2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. М. : Наука, 1981. — 918 с.
  • статті
  1. Фейгин М.И.. Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы // Соросовский образовательный журнал : журнал. — 2001. — Т. 7,  3. — С. 121—127.

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.