Рівняння Бете — Солпітера

Вихідним пунктом виводу рівняння Бете-Солпітера є двочастинкове (чотириточкове) рівняння Дайсона

${\displaystyle G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G}$

в імпульсному просторі. Тут "G" — двочастинкова функція Гріна ${\displaystyle \langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle }$, "S" — вільні попагатори, а "K" — ядро взаємодії, в якому містяться всі можливі взаємодії між двома частинками. Тепер важливим кроком є припущення про те, що зв'язані стани проявляються як полюси функції Гріна. Припускається, що дві частинки сходяться й утворюють зв'язаний стан із масою "M", цей зв'язаний стан розповсюджується вільно, а потім знову розпадається на дві складові. Таким чином, вводиться хвильова функція Бете-Солпітера ${\displaystyle \Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle }$, що є перехідною амплітудою двох складових ${\displaystyle \phi _{i}}$ у зв'язаний стан ${\displaystyle \psi }$, а тоді утворює анзац для функції Гріна поблизу полюса у формі

${\displaystyle G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},}$

де P — повний імпульс системи. Очевидно, якщо для цього імпульсу виконується ${\displaystyle P^{2}=M^{2}}$, а це співвідношення між енергією та імпульсом у теорії відносності (де 4-імпульс ${\displaystyle P_{\mu }=\left(E/c,{\vec {p}}\right)}$ та ${\displaystyle P^{2}=P_{\mu }\,P^{\mu }}$ ), чотириточкова функція Гріна має полюс. Якщо підставити цей анзац у рівняння Дайсона і задати повний імпульс "P" так, щоб виконувалося релятивістське співвідношення між енергією та імпульсом, полюс виникає по обидва боки від знаку рівності.

${\displaystyle {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}}$

Порівняння лишків дає:

${\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi ,\,}$

Це вже рівняння Бете-Солпітера, записане через хвильову функцію Бете-Солпітера. Щоб отримати наведену вище формулу треба ввести амплітуду Бете-Солпітера "Γ"

${\displaystyle \Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma }$

і оримати

${\displaystyle \Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma ,}$

що й записано вище з явною залежністю від імпульсу.

Графічне подання рівняння Бете-Солпітера в наближенні східців

У принципі ядро K містить усі можливі незвідні двочастинкові взаємодії, що можуть статися між двома складовими. Тож, для практичних розрахунків необхідно моделювати взаємодію, вибираючи тільки підмножину взаємодій. Як і в квантовій теорії поля, взаємодія описується через обмін частинками (наприклад, фононами в квантовій електродинаміці або глюонами в квантовій хромодинаміці), найпростіша взаємодія зводиться до тільки одної такої силової частинки.

Оскільки рівняння Бете-Солпітера підсумовує взаємодію нескінченне число разів, відповідна діаграма Фейнмана має вигляд східців (веселки).

Тоді як у квантовій електродинаміці наближення східців призводить до проблем з перехресною симетрією та калібрувальною інваріантністю, а тому вимагає включення перехресних східцевих членів, у квантовій хромодинаміці це наближення доволі часто використовується феноменологічно для розрахунку мас адронів[4], оскільки воно зберігає порушення хіральної симетрії, а тому є важливим внеском у генерацію цих мас.

Як для будь-якого однорідного рівняння, розв'язок рівняння Бете-Солпітера визначений тільки з точністю до множника. Цей множник потрібно уточнити, накладаючи певні умови нормування. Для амплітуд Бете-Солпітера це зазвичай означає вимогу збереженння ймовірності (аналогічно нормуванню квантмеханічної хвильової функції), що відповідає рівнянню[5]

${\displaystyle 2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}\,S_{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\,K\right)\,S_{1}\,S_{2}\right)\Gamma }$

Нормування заряду та тензора енергії-імпульсу зв'язаного стану веде до того ж рівняння. У східцевому наближенні ядро взаємодії не залежить від повного імпульсу амплітуди Бете-Солпітера, а тому, у цьому випадку другий член умови нормування зникає.

• ABINIT
• Поправка Аракі-Зухера
• Рівняння Брейта
• Рівняння Ліппманна — Швінгера
• Рівняння Швінгера
• Рівняння Дірака для двох тіл
• YAMBO

Many modern quantum field theory textbooks and a few articles provide pedagogical accounts for the Bethe–Salpeter equation's context and uses. See:

• W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Quantum Electrodynamics (вид. 3rd). Springer. ISBN 978-3-540-44029-1.
• Z.K. Silagadze (1998). «Wick–Cutkosky model: An introduction». arXiv:hep-ph/9803307.

Still a good introduction is given by the review article of Nakanishi

• N. Nakanishi (1969). A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation. Progress of Theoretical Physics Supplement 43: 1–81. Bibcode:1969PThPS..43....1N. doi:10.1143/PTPS.43.1. Проігноровано невідомий параметр |doi-access= (довідка)

For historical aspects, see

• E.E. Salpeter (2008). Bethe–Salpeter equation (origins). Scholarpedia 3 (11): 7483. Bibcode:2008SchpJ...3.7483S. arXiv:0811.1050. doi:10.4249/scholarpedia.7483.

• BerkeleyGW — метод псевдопотенціалу для плоских хвиль
• ExC — плоскі хвилі
• Fiesta — Gaussian all-electron method