Рівняння п'ятого степеня

Рівняння п'ятого степеня є результатом прирівнювання многочлена п'ятого степеня до нуля. Воно має загальний вигляд

Графік многочлена 5-го степеня з 3 дійсними нулями(коренями)та 4 критичними точками.

Оскільки найвищий степінь є непарним, то рівняння (як і кубічне рівняння) має хоча б 1 дійсний корінь.

Нерозв'язними в радикалах вже є досить прості рівняння 5-го степеня, як:

Нормалізація

.
  • Первинна форма: квадратичним перетворенням Чірнхауса можна позбутися 4-го та 3-го степенів:

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

  • Форма Брінга—Жерарда: перетворенням Чірнхауса 4-го степеня можна привести рівняння до вигляду:


Розв'язність в радикалах

Є декілька параметричних представлень для розв'язних рівнянь 5-го степеня (в формі Брінга—Жерарда):

Результат другої половини 19-го століття, John Stuart Glashan, George Paxton Young та Карл Рунге:

незвідне рівняння 5-го степеня з раціональними коефіцієнтами є розв'язним тоді й лише тоді, якщо

де μ та ν є раціональними.

В 1994, Blair Spearman та Kenneth S. Williams дали ще одне представлення,

Розв'язність в радикалах Брінга

Корені многочлена

Можуть бути отримачі використовуючи радикал Брінга:

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.