Рівняння п'ятого степеня

• Зведена форма: лінійним перетворенням Чірнхауса x = y − b5a можна позбутися 4-го степеня і привести рівняння до:

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}$.

• Первинна форма: квадратичним перетворенням Чірнхауса ${\displaystyle y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta \,,}$ можна позбутися 4-го та 3-го степенів:

${\displaystyle y^{5}+py^{2}+qy+r=0,}$

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

• Форма Брінга—Жерарда: перетворенням Чірнхауса 4-го степеня ${\displaystyle v_{k}=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta \,}$ можна привести рівняння до вигляду:

${\displaystyle v^{5}+pv+q=0.}$

Є декілька параметричних представлень для розв'язних рівнянь 5-го степеня (в формі Брінга—Жерарда):

${\displaystyle x^{5}+ax+b=0.\,}$

Результат другої половини 19-го століття, John Stuart Glashan, George Paxton Young та Карл Рунге:

незвідне рівняння 5-го степеня з раціональними коефіцієнтами є розв'язним тоді й лише тоді, якщо

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

де μ та ν є раціональними.

В 1994, Blair Spearman та Kenneth S. Williams дали ще одне представлення,

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

Корені многочлена

${\displaystyle x^{5}+px+q\,}$

Можуть бути отримачі використовуючи радикал Брінга:

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{-{\frac {p}{5}}}}\,\operatorname {BR} \left(-{\frac {1}{4}}\left(-{\frac {5}{p}}\right)^{\frac {5}{4}}q\right)}$

• Mathworld - Quintic Equation – more details on methods for solving Quintics.