Сателітний вузол

В математичній теорії вузлів сателітний вузол — це вузол, що містить у своєму доповненні нестисний, тор, що не є ∂-паралельним[1]. Кожен вузол є або гіперболічним, або торичним, або сателітним. До класу сателітних вузлів належать складені вузли, кабельні вузли та дублі Вайтгеда. (Див. означення останніх двох класів нижче в розділі Основні сімейства). Сателітне зачеплення — це зачеплення, яке обертається навколо супровідного вузла K в тому сенсі, що воно лежить усередині його регулярного околу[2].

Приклад 1. Сума трилисника і вісімки.

Сателітний вузол ${\displaystyle K}$ можна наочно описати так: візьміть нетривіальний вузол ${\displaystyle K'}$, що лежить всередині незавузленого повнотора ${\displaystyle V}$. Тут «нетривіальний» означає, що вузол ${\displaystyle K'}$ не може лежати в 3-сфері, яка міститися у ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle K'}$ не може бути ізотопним центральній кривій суцільного тора. Потім повнотор зав'яжіть у нетривіальний вузол.

Приклад 2. Дубль Вайтгеда вісімки.

Це означає, що існує нетривіальне вкладення ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ і ${\displaystyle K=f(K')}$. Центральна крива повнотора ${\displaystyle V}$ переходить на вузол ${\displaystyle H}$, який називається «супровідним вузлом»[3] і грає роль планети, навколо якої облітає «сателітний вузол» ${\displaystyle K}$. Побудова гарантує, що ${\displaystyle f(\partial V)}$ — не ∂-паралельний нестисливий тор у доповненні до ${\displaystyle K}$. Складені вузли містять особливий вид нестисного тора — охопно-ковзний^{[уточнити]} (англ. swallow-follow torus) — який охоплює один доданок та проходить уздовж іншого.

Приклад 3: Кабельна сума

Якщо ${\displaystyle V}$ — незавузлений повнотор, то ${\displaystyle S^{3}\setminus V}$ є трубчастим околом безвузла ${\displaystyle J}$. Двокомпонентне з'єднання ${\displaystyle K'\cup J}$ разом із вкладенням ${\displaystyle f}$ називається шаблоном, пов'язаним із сателітною операцією.

Домовленість: зазвичай вимагається, що вбудовування ${\displaystyle f\colon V\to S^{3}}$ розкручене в тому сенсі, що ${\displaystyle f}$ необхідно надіслати стандартну довготу ${\displaystyle V}$ до стандартної довготи ${\displaystyle f(V)}$. Іншими словами, для будь-яких двох неперетинних кривих ${\displaystyle c_{1},c_{2}\subset V}$, ${\displaystyle f}$ зберігає їхні числа зв'язків, тобто: ${\displaystyle lk(f(c_{1}),f(c_{2}))=lk(c_{1},c_{2})}$.