Зачеплення Хопфа

Конкретна модель складається з двох окремих кіл в перпендикулярних площинах, таких, що кожне проходить через центр іншого[2]. Ця модель мінімізує довжину мотузки (довжина мотузки — інваріант теорії вузлів) зачеплення і до 2002 року зачеплення Хопфа було єдиним, у якого довжина мотузки була відома [4]. Опукла оболонка цих двох кіл утворює тіло, зване олоїдом[5].

Скейн-співвідношення для зачеплення Хопфа

Залежно від відносної орієнтації двох компонент коефіцієнт зачеплення Хопфа дорівнює ±1[1].

Зачеплення Хопфа є (2,2)-торичним зачепленням[6] з описовим словом[1] ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$.

Доповнення зачеплення Хопфа — ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}\times S^{1}}$, циліндр над тором[7]. Цей простір має локально евклідову геометрію, так що зачеплення Хопфа не є гіперболічним. Група вузлів зачеплення Хопфа (фундаментальна група його доповнення) — це ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ (вільна абелева група на двох генераторах) і вона відрізняє зачеплення Хопфа від двох незачеплених кіл, яким відповідає вільна група на двох генераторах[8].

Зачеплення Хопфа не може бути розфарбоване в три кольори. Це безпосередньо випливає з факту, що зачеплення можна розфарбувати лише у два кольори, що суперечить другій частині визначення розмальовки. В кожному перетині буде максимум 2 кольори, так що при розфарбуванні ми порушимо вимогу мати 1 або 3 кольори в кожному перетині, або порушимо вимогу мати більше 1 кольору.

Розшарування Хопфа — це неперервне відображення з 3-сфери (тривимірна поверхня в чотиривимірному евклідовому просторі) в більш звичну 2-сферу, таке, що прообраз кожної точки на 2-сфері є колом. Таким чином виходить розкладання 3-сфери на безперервне сімейство кіл і кожні два різних кола з цього сімейства утворюють зачеплення Хопфа. Цей факт і спонукав Хопфа зайнятися вивченням зачеплень Хопфа — оскільки будь-які два шари зачеплені, розшарування Хопфа є нетривіальним розшаруванням. З цього почалося вивчення гомотопічних груп сфер[9].

Герб Бузан-ха

Зачеплення названо ім'ям тополога Хайнца Хопфа, який досліджував його в 1931 році в праці про розшарування Хопфа[10]. Однак таке зачеплення використовував ще Гаусс[3], а поза математикою воно зустрічалося задовго до цього, наприклад, в якості герба японської буддійської секти Бузан-ха, заснованої в XVI столітті.

• Катенани, хімічні сполуки з двома механічно зчепленими молекулами
• Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
• Adams, Colin Conrad. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — arXiv:math/0103224. — DOI:10.1007/s00222-002-0234-y.
• Dirnböck H., Stachel H. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
• Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin : Springer, 1931. — DOI:10.1007/BF01457962.
• Kauffman, Louis H. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
• Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Shastri, Anant R. Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
• Turaev, Vladimir G. Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.

• Weisstein, Eric W. Hopf Link(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hopf link, The Knot Atlas