Симпліціальна сфера
Симпліціа́льна (або комбінато́рна) d-сфе́ра — це симпліціальний комплекс, гомеоморфний d-вимірній сфері. Деякі симпліціальні сфери з'являються як межі опуклого багатогранника, однак у вищих розмірностях більшість симпліціальних сфер не можна отримати таким чином.
Найважливіша з відкритих проблем цієї галузі — g-гіпотеза, сформульована Пітером Макмалленом, який поставив питання про можливе число граней різних розмірностей симпліціальнї сфери. У грудні 2018 Карім Адіпрасіто довів гіпотезу для всіх d [1].
Приклади
- Для будь-якого n ⩾ 3 простий n-цикл Cn є симпліціальним колом, тобто симпліціальною сферою розмірності 1. Ця побудова дає всі симпліціальні кола.
- Межа опуклого багатогранника в R3 з правильними гранями, такого як октаедр або ікосаедр, є 2-сферою.
- У загальнішому випадку, межа будь-якого (d+1)-вимірного компактного (або обмеженого) симпліціального опуклого багатогранника в евклідовому просторі є симпліціальною сферою.
Властивості
З формули Ейлера випливає, що будь-яка симпліціальна 2-сфера з n вершини має 3n − 6 ребер і 2n − 4 граней. Випадок n = 4 реалізується у вигляді тетраедра. При повторному здійсненні барицентричного підподілу легко побудувати симпліціальні сфери для будь-якого n ⩾ 4. Однак Ернст Штайніц дав опис 1-скелетів (графів ребер) опуклих багатогранників у R3, з якого випливає, що будь-яка симпліціальна 2-сфера є межею опуклого багатогранника.
Бранко Ґрюнбаум побудував приклад симпліціальної сфери, яка не є межею багатовимірного багатогранника. Гіль Калай довів, що, фактично, «більша частина» симпліціальних сфер не є межами багатогранників. Найменший приклад існує в розмірності d = 4 і має f0 = 8 вершин.
Теорема про верхню межу дає верхні межі для числа fi i-граней будь-якої симпліціальної d-сфери з f0 = n вершинами. Гіпотезу довів для поліедральних сфер у 1970 Пітер Макмаллен[2], а для загальних симпліціальних сфер у 1975 — Річард Стенлі.
Сформульована Макмалленом у 1970 році g-гіпотеза ставить питання про повний опис f-векторів симпліціальних d-сфер. Іншими словами, які можливі набори числа граней кожної розмірності симпліціальної d-сфери? Для поліедральних сфер відповідь дає g-теорема, яку довели в 1979 році Біллера і Лі (існування) і Стенлі (необхідність). Висловлено припущення, що ті самі умови необхідні для загальних симпліціальних сфер.
На 2015 рік гіпотеза залишалася відкритою для d=5 і вище. У грудні 2018 Карім Адіпрасіто довів гіпотезу для всіх d[1].
Примітки
- Adiprasito, 2018.
- McMullen, 1971, с. 187–200.
Література
- Karim Adiprasito. Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity. — 2018. — 3 листопада. — arXiv:1812.10454v2.
- Richard P. Stanley. Combinatorics and commutative algebra. — Second edition. — Boston, MA : Birkhäuser Boston, Inc, 1996. — Т. 41. — С. x+164. — (Progress in Mathematics) — ISBN 0-8176-3836-9.
- P. McMullen. On the upper-bound conjecture for convex polytopes // J. Combinatorial Theory. — 1971. — Вип. 10 (3 листопада). — С. 187–200. — (Ser. B).