Сума трьох кубів

Сума трьох кубів — у математиці відкрита проблема про подаваність цілого числа у вигляді суми трьох кубів цілих (додатних або від'ємних) чисел.

Напівлогарифмічний графік розв'язків x³ + y³ + z³ = n для цілих чисел x, y і z і n в інтервалі [0, 100]. Зелені смуги позначають доведену відсутність розв'язку

Відповідне діофантове рівняння записується як $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.$ Необхідна умова для подаваності числа $n$ у вигляді суми трьох кубів: $n$ не можна порівняти з 4 або 5 за модулем 9.

У варіантах задачі число треба подати як суму кубів тільки невід'ємних або раціональних чисел. Будь-яке ціле число подається у вигляді суми раціональних кубів, але невідомо, чи утворюють суми невід'ємних кубів множину з ненульовою асимптотичною щільністю.

Історія

Питання про подання довільного цілого числа у вигляді суми трьох кубів існує вже близько 200 років, перший відомий параметричний розв'язок у раціональних числах дав С. Рілі в 1825 році. Параметричні розв'язки в цілих числах знаходять для $n=2$ — в 1908 році А. С. Веребрюсов (учитель математики Феодосійської чоловічої гімназії, син С. В. Веребрюсова), для $n=1$ — в 1936 році Малер[1].

Розв'язки

Необхідна умова для подаваності числа $n$ у вигляді суми трьох кубів: $n$ не порівнянне з 4 або 5 за модулем 9; оскільки куб будь-якого цілого числа за модулем 9 порівнянний з 0, 1 або -1, то сума трьох кубів не може дати 4 або 5 за модулем 9[2]. Невідомо, чи є ця умова достатньою.

У 1992 році Роджер Гіт-Браун припустив, що будь-яке $n$ не порівнянне з 4 або 5 за модулем 9 має нескінченно багато подань у вигляді сум трьох кубів[3].

Однак невідомо, чи розв'язується алгоритмічно подання чисел у вигляді суми трьох кубів, тобто, чи може алгоритм за скінченний час перевірити існування розв'язку для будь-якого заданого числа. Якщо гіпотеза Гіта-Брауна істинна, то задачу розв'язано, і алгоритм може правильно це зробити. Дослідження Гіта-Брауна також включає точніші припущення про те, як далеко алгоритму доведеться шукати, щоб знайти подання, а не просто визначити, чи існує воно[3].

Випадок $n=33$ , подання якого у вигляді суми кубів довгий час не було відомим, використав Бьорн Пунен як вступний приклад в огляді нерозв'язних задач теорії чисел, з яких десята проблема Гільберта є найвідомішим прикладом[4].

Невеликі числа

Для $n=0$ існують тільки тривіальні рішення

a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.

Нетривіальне подання 0 у вигляді суми трьох кубів дало б контрприклад до доведеної Леонардом Ейлером останньої теореми Ферма для степеня 3[5]: оскільки один з трьох кубів матиме протилежний до двох інших чисел знак, то протилежне йому значення дорівнює сумі інших двох.

Для $n=1$ і $n=2$ існує нескінченне число сімейств розв'язків, наприклад (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,

(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.

Існують інші подання та інші параметризовані сімейства подань для 1[6]. Для 2 іншими відомими поданнями є[6][7]

1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,

37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,

373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.

Ці рівності можна використовувати для розкладання будь-якого куба або подвоєного куба на суму трьох кубів[8][9].

Однак 1 і 2 є єдиними числами з поданнями, які можна параметризувати поліномами четвертого степеня[10]. Навіть у випадку подання $n=3$ Луї Дж. Морделла написав 1953 року: «я нічого не знаю», крім невеликих розв'язків

4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,

1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,

і ще того, що всі три куби повинні бути рівні 1 за модулем 9[11][12]. 17 вересня 2019 року Ендрю Букер і Ендрю Сазерленд, які знайшли подання для складних випадків 33 і 42 (див. нижче), опублікували ще одне подання 3, для знаходження якого було витрачено 4 млн годин в обчислювальній мережі Charity Engine[13][14]:

569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}=3,

Решта чисел

Від 1955 року, слідом за Морделлом, багато дослідників шукають розв'язки за допомогою комп'ютера[15][16][7][17][18][19][20][1][21][22].

1954 року Міллер і Вуллетт знаходять подання для 69 чисел від 1 до 100. У 1963 році Гардінер, Лазарус, Штайн досліджують інтервал від 1 до 999, вони знаходять подання для багатьох чисел, крім 70 чисел, з яких 8 значень менші від 100. 1992 року Гіт-Браун та інші знайшли розв'язок для 39. У 1994 році Кояма, використовуючи сучасні комп'ютери, знаходить розв'язок для ще 16 чисел від 100 до 1000. У 1994 році Конн і Вазерштайн — 84 960. У 1995 році Бремнер — 75 і 600, Люкс — 110, 435, 478. У 1997 році Кояма та інші — 5 нових чисел від 100 до 1000. У 1999 році Елкіс — 30 і ще 10 нових чисел від 100 до 1000. У 2007 році Бек та інші — 52, 195, 588[1]. У 2016 році Гейсман — 74, 606, 830, 966[22].

Elsenhans і Jahnel у 2009 році[21] використали метод Елкіса[20], що застосовує редукування базису ґратки для пошуку всіх розв'язків діофантового рівняння $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ для додатних $n$ не більших від 1000 і для $\max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14}$ [21], потім Гейсман у 2016 році[22] розширив пошук до $\max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15}$ .

Навесні 2019 року Ендрю Букер (Бристольський університет) розробив іншу стратегію пошуку з часом розрахунків пропорційним $\min {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}$ , а не їх максимуму, і знайшов подання 33 і 795[23][24][25]:

33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},

795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3}.

У вересні 2019 року Букер і Ендрю Сазерленд закрили інтервал до 100, знайшовши подання 42, для чого було витрачено 1,3 мільйона годин розрахунку глобальної обчислювальної мережі Charity Engine[26]:

Пізніше, в цьому ж місяці, вони знайшли розклад числа 906[27]:

906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.

А потім 165[28]:

165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^{3}.

На 2019 рік знайдено подання всіх чисел до 100, не рівних 4 або 5 за модулем 9. Залишаються невідомими подання для 8 чисел від 100 до 1000: 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975[26].

Найменший нерозв'язаний випадок — $n=114$ [26].

Варіанти

Існує варіант задачі, в якому число необхідно подати у вигляді суми трьох кубів невід'ємних цілих чисел, ця задача пов'язана з проблемою Воринга. У XIX столітті Карл Густав Якоб Якобі і його колеги склали таблиці розв'язків цієї задачі[29]. Передбачається, але не доведено, що подавані числа мають додатну асимптотичну щільність[30][31], хоча Тревор Вулі показав, що таким чином можливо подати $\Omega (n^{0{,}917})$ чисел в інтервалі від $1$ до $n$ [32][33][34]. Щільність не перевищує $\Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0{,}119$ [2].

Ще один варіант — з раціональними числами. Відомо, що будь-яке ціле число можна подати у вигляді суми трьох кубів раціональних чисел[35][36].

Див. також

Примітки

Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007). New integer representations as the sum of three cubes. Mathematics of Computation 76 (259): 1683–1690. MR 2299795. doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3.
Davenport, H. (1939). On Waring's problem for cubes. Acta Mathematica 71: 123–143. MR 0000026. doi:10.1007/BF02547752.
Heath-Brown, D. R. (1992). The density of zeros of forms for which weak approximation fails. Mathematics of Computation 59 (200): 613–623. JSTOR 2153078. MR 1146835. doi:10.2307/2153078.
Poonen, Bjorn (2008). Undecidability in number theory. Notices of the American Mathematical Society 55 (3): 344–350. MR 2382821.
Machis, Yu. Yu. (2007). On Euler's hypothetical proof. Mathematical Notes 82 (3): 352–356. MR 2364600. doi:10.1134/S0001434607090088.
Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018). A new method in the problem of three cubes. arXiv:1802.06776. doi:10.13189/ujcmj.2017.050301. Проігноровано невідомий параметр |doi-broken-date= (довідка)
Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993). On solving the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203): 235–244. Bibcode:1993MaCom..61..235H. JSTOR 2152950. MR 1202610. doi:10.2307/2152950.
А. С. Веребрюсовъ (1908). Объ уравненiи $x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3$ . Математический сборник (Russian) 26 (4): 622–624. JFM 39.0259.02.
Mahler, Kurt (1936). Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood. Journal of the London Mathematical Society 11 (2): 136–138. MR 1574761. doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136.
Mordell, L. J. (1942). On sums of three cubes. Journal of the London Mathematical Society. Second Series 17 (3): 139–144. MR 0007761. doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139.
Mordell, L. J. (1953). On the integer solutions of the equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ . Journal of the London Mathematical Society. Second Series 28: 500–510. MR 0056619. doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500.
The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell, (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985). A note on the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ . Mathematics of Computation 44 (169): 265–266. JSTOR 2007811. MR 771049. doi:10.2307/2007811..
Lu, Donna (18 вересня 2019). Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist. Процитовано 11 жовтня 2019.
markmcan (17 вересня 2019). Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search (Твіт) — через Твіттер.
Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955). Solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ . Journal of the London Mathematical Society. Second Series 30: 101–110. MR 0067916. doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101.
Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964). Solutions of the diophantine equation $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ . Mathematics of Computation 18 (87): 408–413. JSTOR 2003763. MR 0175843. doi:10.2307/2003763.
Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994). On sums of three integral cubes. The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992). Contemporary Mathematics 166. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. с. 285–294. MR 1284068. doi:10.1090/conm/166/01628.
Bremner, Andrew (1995). On sums of three cubes. Number theory (Halifax, NS, 1994). CMS Conference Proceedings 15. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. с. 87–91. MR 1353923.
Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997). On searching for solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ . Mathematics of Computation 66 (218): 841–851. MR 1401942. doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2.
Elkies, Noam D. (2000). Rational points near curves and small nonzero $|x^{3}-y^{2}|$ via lattice reduction. Algorithmic number theory (Leiden, 2000). Lecture Notes in Computer Science 1838. Springer, Berlin. с. 33–63. MR 1850598. arXiv:math/0005139. doi:10.1007/10722028_2.
Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009). New sums of three cubes. Mathematics of Computation 78 (266): 1227–1230. MR 2476583. doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6.
Huisman, Sander G. (2016). Newer sums of three cubes. arXiv:1604.07746.
Kalai, Gil (March 9, 2019). Combinatorics and more.
Booker, Andrew R. (2019). Cracking the problem with 33. University of Bristol. arXiv:1903.04284.
Booker, Andrew R. (2019). Cracking the problem with 33. Research in Number Theory 5:26. Springer. doi:10.1007/s40993-019-0162-1.
Houston, Robin (6 вересня 2019). 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?'. The Aperiodical.
Andrew V. Sutherland personal webpage. Процитовано 20 вересня 2019.
Andrew V. Sutherland personal webpage. Процитовано 30 вересня 2019.
Dickson, Leonard Eugene (1920). History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis. Carnegie Institution of Washington. с. 717.
Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995). Sums of three cubes in three linked three-progressions. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1995 (466): 45–85. MR 1353314. doi:10.1515/crll.1995.466.45.
Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006). On the density of sums of three cubes. У Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael. Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 4076. Berlin: Springer. с. 141–155. MR 2282921. doi:10.1007/11792086_11.
Wooley, Trevor D. (1995). Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour. Inventiones Mathematicae 122 (3): 421–451. MR 1359599. doi:10.1007/BF01231451. Проігноровано невідомий параметр |hdl= (довідка)
Wooley, Trevor D. (2000). Sums of three cubes. Mathematika 47 (1–2): 53–61 (2002). MR 1924487. doi:10.1112/S0025579300015710.
Wooley, Trevor D. (2015). Sums of three cubes, II. Acta Arithmetica 170 (1): 73–100. MR 3373831. doi:10.4064/aa170-1-6.
Richmond, H. W. (1923). On analogues of Waring's problem for rational numbers. Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series 21: 401–409. MR 1575369. doi:10.1112/plms/s2-21.1.401.
Davenport, H.; Landau, E. (1969). On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers. Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau). New York: Plenum. с. 49–53. MR 0262198.

Посилання

Solutions of $n = x 3 + y 3 + z 3$ for $0 \leq n \leq 99$ , Hisanori Mishima
threecubes, Daniel J. Bernstein
Sums of three cubes, Mathpages
The Uncracked Problem with 33, Timothy Browning on Numberphile
42 is the new 33, Andrew Booker on Numberphile

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[bpty-1] Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim (2007). New integer representations as the sum of three cubes. Mathematics of Computation 76 (259): 1683–1690. MR 2299795. doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3.

[d-2] Davenport, H. (1939). On Waring's problem for cubes. Acta Mathematica 71: 123–143. MR 0000026. doi:10.1007/BF02547752.

[hb-3] Heath-Brown, D. R. (1992). The density of zeros of forms for which weak approximation fails. Mathematics of Computation 59 (200): 613–623. JSTOR 2153078. MR 1146835. doi:10.2307/2153078.

[p-4] Poonen, Bjorn (2008). Undecidability in number theory. Notices of the American Mathematical Society 55 (3): 344–350. MR 2382821.

[euler-5] Machis, Yu. Yu. (2007). On Euler's hypothetical proof. Mathematical Notes 82 (3): 352–356. MR 2364600. doi:10.1134/S0001434607090088.

[ad-6] Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen (2018). A new method in the problem of three cubes. arXiv:1802.06776. doi:10.13189/ujcmj.2017.050301. Проігноровано невідомий параметр |doi-broken-date= (довідка)

[hlr-7] Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J. (1993). On solving the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203): 235–244. Bibcode:1993MaCom..61..235H. JSTOR 2152950. MR 1202610. doi:10.2307/2152950.

[w08-8] А. С. Веребрюсовъ (1908). Объ уравненiи $x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3$ . Математический сборник (Russian) 26 (4): 622–624. JFM 39.0259.02.

[m36-9] Mahler, Kurt (1936). Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood. Journal of the London Mathematical Society 11 (2): 136–138. MR 1574761. doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136.

[m42-10] Mordell, L. J. (1942). On sums of three cubes. Journal of the London Mathematical Society. Second Series 17 (3): 139–144. MR 0007761. doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139.

[m53-11] Mordell, L. J. (1953). On the integer solutions of the equation $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ . Journal of the London Mathematical Society. Second Series 28: 500–510. MR 0056619. doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500.

[cassels-12] The equality mod 9 of numbers whose cubes sum to 3 was credited to J. W. S. Cassels by Mordell, (1953), but its proof was not published until Cassels, J. W. S. (1985). A note on the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ . Mathematics of Computation 44 (169): 265–266. JSTOR 2007811. MR 771049. doi:10.2307/2007811..

[13] Lu, Donna (18 вересня 2019). Mathematicians find a completely new way to write the number 3. New Scientist. Процитовано 11 жовтня 2019.

[mma-14] rkmcan (17 вересня 2019). Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search (Твіт) — через Твіттер.

[mw-15] Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C. (1955). Solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ . Journal of the London Mathematical Society. Second Series 30: 101–110. MR 0067916. doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101.

[gls-16] Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R. (1964). Solutions of the diophantine equation $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ . Mathematics of Computation 18 (87): 408–413. JSTOR 2003763. MR 0175843. doi:10.2307/2003763.

[cv-17] Conn, W.; Vaserstein, L. N. (1994). On sums of three integral cubes. The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992). Contemporary Mathematics 166. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. с. 285–294. MR 1284068. doi:10.1090/conm/166/01628.

[b-18] Bremner, Andrew (1995). On sums of three cubes. Number theory (Halifax, NS, 1994). CMS Conference Proceedings 15. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. с. 87–91. MR 1353923.

[kts-19] Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio; Sekigawa, Hiroshi (1997). On searching for solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ . Mathematics of Computation 66 (218): 841–851. MR 1401942. doi:10.1090/S0025-5718-97-00830-2.

[e-20] Elkies, Noam D. (2000). Rational points near curves and small nonzero $|x^{3}-y^{2}|$ via lattice reduction. Algorithmic number theory (Leiden, 2000). Lecture Notes in Computer Science 1838. Springer, Berlin. с. 33–63. MR 1850598. arXiv:math/0005139. doi:10.1007/10722028_2.

[ej-21] Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg (2009). New sums of three cubes. Mathematics of Computation 78 (266): 1227–1230. MR 2476583. doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6.

[h-22] Huisman, Sander G. (2016). Newer sums of three cubes. arXiv:1604.07746.

[k-23] Kalai, Gil (March 9, 2019). Combinatorics and more.

[arb-24] Booker, Andrew R. (2019). Cracking the problem with 33. University of Bristol. arXiv:1903.04284.

[arbr-25] Booker, Andrew R. (2019). Cracking the problem with 33. Research in Number Theory 5:26. Springer. doi:10.1007/s40993-019-0162-1.

[lue-26] Houston, Robin (6 вересня 2019). 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?'. The Aperiodical.

[27] Andrew V. Sutherland personal webpage. Процитовано 20 вересня 2019.

[28] Andrew V. Sutherland personal webpage. Процитовано 30 вересня 2019.

[dickson-29] Dickson, Leonard Eugene (1920). History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis. Carnegie Institution of Washington. с. 717.

[bb-30] Balog, Antal; Brüdern, Jörg (1995). Sums of three cubes in three linked three-progressions. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 1995 (466): 45–85. MR 1353314. doi:10.1515/crll.1995.466.45.

[dhl-31] Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard (2006). On the density of sums of three cubes. У Hess, Florian; Pauli, Sebastian; Pohst, Michael. Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 4076. Berlin: Springer. с. 141–155. MR 2282921. doi:10.1007/11792086_11.

[w1-32] Wooley, Trevor D. (1995). Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour. Inventiones Mathematicae 122 (3): 421–451. MR 1359599. doi:10.1007/BF01231451. Проігноровано невідомий параметр |hdl= (довідка)

[w2-33] Wooley, Trevor D. (2000). Sums of three cubes. Mathematika 47 (1–2): 53–61 (2002). MR 1924487. doi:10.1112/S0025579300015710.

[w3-34] Wooley, Trevor D. (2015). Sums of three cubes, II. Acta Arithmetica 170 (1): 73–100. MR 3373831. doi:10.4064/aa170-1-6.

[rich-35] Richmond, H. W. (1923). On analogues of Waring's problem for rational numbers. Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series 21: 401–409. MR 1575369. doi:10.1112/plms/s2-21.1.401.

[dl-36] Davenport, H.; Landau, E. (1969). On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers. Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau). New York: Plenum. с. 49–53. MR 0262198.