Сюр'єкція

Сюр'єкція (сюр'єктивне відображення, сюр'єктивна функція, відображення на) — в математиці відповідність між двома множинами, в якій з кожним елементом другої множини асоціюється щонайменш один (або більше) елементів першої множини.

Формально, відображення f: X  Y є сюр'єктивним' якщо для кожного y з Y, існує щонайменш один x з X такий, що f(x) = y.


Бієктивне відображення (сюр'єктивне та ін'єктивне)


Ін'єктивне, але не сюр'єктивне відображення


Сюр'єктивне, але не ін'єктивне відображення


Несюр'єктивне і неін'єктивне відображення

Приклади

З одного боку, функція g: R  R, визначена як g(x) = x2 не є сюр'єктивною, тому що (наприклад) не існує такого дійсного числа x, що x2 = −1.

Але якщо ми визначимо функцію h: R  [0, ∞) за тією ж формулою як g, але з областю значень, обмеженою лише невід'ємними дійсними числами, то функція h буде сюр'єктивною.

Властивості

  • Функція f: X  Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо існує функція g: Y  X така, що композиція функцій f o g є тотожним відображенням на Y.
  • За визначенням, функція бієктивна тоді й тільки тоді, коли вона одночасно сюр'єктивна та ін'єктивна.
  • Якщо f o g сюр'єктивна, то f також сюр'єктивна.
  • Якщо f та g обидві сюр'єктивні, то f o g сюр'єктивна.
  • f: X  Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо для будь-яких g,h:Y  Z, якщо g o f = h o f, то g = h.
  • Якщо f: X  Y сюр'єктивна і B є підмножиною Y, то f(f −1(B)) = B. Таким чином, B може бути відновлена за прообразом f −1(B).
  • Будь-яка функція h: X  Z може бути визначена як композиція деяких функцій h = g o f для деякої сюр'єкції f та ін'єкції g.
  • Якщо f: X  Y сюр'єктивна, то X має щонайменш стільки ж елементів, як і Y, в сенсі потужності множин.
  • Якщо обидві множини X та Y є скінченні з однаковою кількістю елементів, то f : X  Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо f ін'єктивна.

Див. також

Джерела

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.