Сюр'єкція

З одного боку, функція g: R → R, визначена як g(x) = x² не є сюр'єктивною, тому що (наприклад) не існує такого дійсного числа x, що x² = −1.

Але якщо ми визначимо функцію h: R → [0, ∞) за тією ж формулою як g, але з областю значень, обмеженою лише невід'ємними дійсними числами, то функція h буде сюр'єктивною.

• Функція f: X → Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо існує функція g: Y → X така, що композиція функцій f o g є тотожним відображенням на Y.
• За визначенням, функція бієктивна тоді й тільки тоді, коли вона одночасно сюр'єктивна та ін'єктивна.
• Якщо f o g сюр'єктивна, то f також сюр'єктивна.
• Якщо f та g обидві сюр'єктивні, то f o g сюр'єктивна.
• f: X → Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо для будь-яких g,h:Y → Z, якщо g o f = h o f, то g = h.
• Якщо f: X → Y сюр'єктивна і B є підмножиною Y, то f(f ⁻¹(B)) = B. Таким чином, B може бути відновлена за прообразом f ⁻¹(B).
• Будь-яка функція h: X → Z може бути визначена як композиція деяких функцій h = g o f для деякої сюр'єкції f та ін'єкції g.
• Якщо f: X → Y сюр'єктивна, то X має щонайменш стільки ж елементів, як і Y, в сенсі потужності множин.
• Якщо обидві множини X та Y є скінченні з однаковою кількістю елементів, то f : X → Y сюр'єктивна тоді й тільки тоді, якщо f ін'єктивна.

• Відображення
• Ін'єктивне відображення
• Бієктивне відображення

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)