Тангенціальне прискорення

Величину тангенціального прискорення як проєкцію вектора прискорення на дотичну до траєкторії можна виразити так:

${\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d\vert {\vec {v}}\vert }{dt}}}$,

де ${\displaystyle v\ =dl/dt}$ — шляхова швидкість уздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент.

Якщо використати для одиничного дотичного вектора позначення ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$, то можна записати тангенціальне прискорення у векторному вигляді:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } }$[1].

Тангенціальне прискорення ${\displaystyle \mathbf {a} _{\tau }}$ паралельне вектору швидкості ${\displaystyle \mathbf {v} }$ за прискореного руху (додатна похідна) і антипаралельне за сповільненого (від'ємна похідна).

Розкладають повне прискорення на тангенціальну і нормальну компоненти, диференціюючи за часом вектор швидкості, поданий у вигляді ${\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {\tau } }$ через одиничний вектор дотичної ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {\tau } )}{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +v{\frac {d\mathbf {\tau } }{dt}}={\frac {dv}{dt}}\,\mathbf {\tau } +{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {n} }$.

Перший доданок — тангенціальне прискорення ${\displaystyle \mathbf {a_{\tau }} }$, а другий — нормальне прискорення ${\displaystyle \mathbf {a_{n}} }$ (${\displaystyle R}$ — радіус кривини, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — одиничний вектор нормалі до траєкторії в даній точці).

Приклад 1

Швидкість каменя, скинутого з висоти з початковою швидкістю ${\displaystyle v_{0}}$, напрямленою горизонтально, до падіння на землю змінюється як ${\displaystyle {\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}$, де ${\displaystyle g}$ — прискорення вільного падіння. Модуль швидкості становить ${\displaystyle v={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}$, а отже, тангенціальне прискорення за величиною дорівнює ${\displaystyle a_{\tau }=dv/dt=g^{2}t/{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}$. У початковий момент воно дорівнює нулю, а за великих ${\displaystyle t}$ прямує до ${\displaystyle g}$. Можна записати тангенціальне прискорення і як вектор:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\tau }=a_{\tau }\,{\vec {\tau }}=a_{\tau }\cdot {\frac {\vec {v}}{v}}=a_{\tau }\cdot {\frac {v_{0}\,{\vec {i}}-gt\,{\vec {j}}}{\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}}={\frac {v_{0}g^{2}t}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {i}}-{\frac {g^{3}t^{2}}{v_{0}^{2}+g^{2}t^{2}}}\,{\vec {j}}}$.

У цих виразах ${\displaystyle {\vec {i}}}$, ${\displaystyle {\vec {j}}}$ — одиничні вектори в декартових координатах.

Приклад 2

Нехай радіус-вектор тіла залежить від часу за законом ${\displaystyle {\vec {r}}=r_{0}\sin(\omega t){\vec {i}}+r_{0}\cos(\omega t){\vec {j}}}$.

У такому разі швидкість тіла знайдемо як ${\displaystyle {\vec {v}}=d{\vec {r}}/dt=r_{0}\omega \cos(\omega t){\vec {i}}-r_{0}\omega \sin(\omega t){\vec {j}}}$. Відповідно, її модуль дорівнює ${\displaystyle v={\sqrt {r_{0}^{2}\omega ^{2}\cos ^{2}(\omega t)+r_{0}^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}=r_{0}\omega }$ і є сталою величиною. В результаті виходить, що тангенціальне прискорення дорівнює нулю:

${\displaystyle a_{\tau }={\frac {dv}{dt}}={\frac {d(r_{0}\omega )}{dt}}=0}$.

Розглянута залежність ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ описує рівномірний рух по колу радіусом ${\displaystyle r_{0}}$.

Рух тіла зі сталим за величиною тангенціальним прискоренням називають рівнозмінним. Слова «рівнозмінний» (${\displaystyle a_{\tau }=\,}$const) і «рівноприскорений» (${\displaystyle {\vec {a}}=\,}$const) не синонімічні. Взаємозамінними ці терміни стають тільки стосовно прямолінійного руху. Проте можливі певні аналогії за розгляду обох названих типів руху.

• Нормальне та тангенціальне прискорення на Освітньому сайті КНУБА