Описаний багатокутник

Опуклий багатокутник має вписане коло тоді й лише тоді, коли всі його внутрішні бісектриси кутів конкурентні (перетинаються в одній точці) і ця спільна точка перетину є центром уписаного кола[1].

Існує описаний багатокутник з n послідовними сторонами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ тоді і тільки тоді, коли система рівнянь

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots ,\quad x_{n}+x_{1}=a_{n}}$

має розв'язок ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ у додатних дійсних числах[2]. Якщо такий розв'язок існує, то ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ є дотичними довжинами багатокутника (довжинами від вершини до точки дотику на стороні).

Якщо число сторін n непарне, то для будь-якого заданого набору довжин сторін ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, що задовольняють критерію, наведеному вище, існує тільки один описаний багатокутник. Але якщо n парне, їх існує нескінченне число[3]. Наприклад, у разі чотирикутника, коли всі сторони рівні, ми будемо мати ромб з будь-якою величиною гострого кута і всі ці ромби будуть описані навколо якого-небудь кола.

Якщо довжини сторін описаного багатокутника дорівнюють ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, то радіус уписаного кола дорівнює[4]

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

де K — площа багатокутника, а s — його півпериметр. (Оскільки всі трикутники мають уписане коло, ця формула застосовна до всіх трикутників.)

• Для описаного багатокутника з непарним числом сторін усі сторони рівні тоді й лише тоді, коли кути рівні (правильний багатокутник). Описаний багатокутник з парним числом сторін має всі сторони рівними тоді й лише тоді, коли кути почергово рівні.
• В описаному багатокутнику з парним числом сторін сума довжин непарних сторін дорівнює сумі довжин парних сторін[2].
• Описаний багатокутник має більшу площу, ніж будь-який інший багатокутник з тим самим периметром і такими самими внутрішніми кутами в тій самій послідовності[5][6].
• Барицентр будь-якого описаного багатокутника, барицентр його точок межі і центр уписаного кола колінеарні і барицентр багатокутника міститься між двома іншими зазначеними центрами і вдвічі далі від центра вписаного кола, ніж від барицентра межі[7].

Всі трикутники мають деяке вписане коло. Трикутник називають тангенціальним трикутником розглянутого трикутника, якщо всі точки дотику тангенціального трикутника кола є вершинами розглянутого трикутника.

Конкурентні головні діагоналі

• В описаному шестикутнику ABCDEF, згідно з теоремою Бріаншона, головні діагоналі AD, BE і CF конкурентні.