Теорема Бельтрамі — Еннепера

Якщо кривина асимптотичної лінії в заданій точці не є рівною нулю то квадрат скруту цієї лінії дорівнює кривині поверхні у цій точці зі знаком мінус.

Для асимптотичної кривої, якщо визначена дотична площина, то вона збігається з дотичною площиною до поверхні. Тому замість квадрата скруту потрібно взяти квадрат швидкості обертання дотичної площини в цій точці при зміщенні по асимптотичній кривій. Це переформулювання є корисним коли кривина асимптотичної лінії в точці дорівнює нулю і отже дотична площина є невизначеною.

Нехай ${\displaystyle \gamma (s)}$ — асимптотична крива на регулярній поверхні S. Оскільки за означенням нормальна кривина у напрямку ${\displaystyle \gamma '(s)}$ є рівною нулю і ${\displaystyle \gamma ''(s)}$ є ненульовим вектором (оскільки кривина є ненульовою), то з означень нормальної кривини і теореми Меньє випливає, що вектор ${\displaystyle \gamma ''(s)}$ є ортогональним до N (нормалі до поверхні). Тоді також ${\displaystyle N(s)=\pm b(s)}$ де ${\displaystyle b(s)}$ позначає бінормаль у точках кривої. Тоді за означенням ${\displaystyle \tau ^{2}=|b'(s)|^{2}=|N'(s)|^{2}=|N'(\gamma (s))|^{2}.}$

Останній вираз можна переписати через відображення Вейнгартена як ${\displaystyle |N'(\gamma (s))|^{2}=(dN(\gamma '(s)),dN(\gamma '(s)))=((dN)^{2}(\gamma '(s)),\gamma '(s))=III(\gamma '(s)),}$ де ${\displaystyle III(\gamma '(s))}$ — третя фундаментальна форма і використана самоспряженість оператора Вейнгартена.

Три фундаментальні форми задовольняють рівність ${\displaystyle III(\gamma '(s))=-K\cdot I(\gamma '(s))+2H\cdot II(\gamma '(s)).}$ З означення асимптотичної кривої ${\displaystyle II(\gamma '(s))=0,}$ також ${\displaystyle I(\gamma '(s))=1}$ оскільки крива задана натуральною параметризацією.

Об'єднуючи всі рівності, маємо ${\displaystyle \tau ^{2}=III(\gamma '(s))=-K.}$

• Асимптотична крива
• Відображення Гауса
• Теорема Меньє

• Toponogov, Victor A. (2005). Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide. Birkhauser. ISBN 0-8176-4384-2.