Теорема Гамільтона — Келі

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}},\quad p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-3\lambda -2.}$

Тоді ${\displaystyle A^{2}={\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\2&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3\\6&11\end{bmatrix}},\qquad p_{A}(A)=A^{2}-3A-2I={\begin{bmatrix}2&3\\6&11\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&3\\6&9\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Доведемо теорему для матриць 2x2.

Маємо ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},\quad p_{A}(\lambda )=\lambda ^{2}-(\operatorname {tr} A)\lambda +(\det A),}$ тому

${\displaystyle p_{A}(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I={\begin{bmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ca+dc&cb+d^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}(a+d)a&(a+d)b\\(a+d)c&(a+d)d\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• Розглянемо випадок діагональних матриць.

Якщо ${\displaystyle A=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ — діагональна матриця і ${\displaystyle \ f(x)}$ — поліном, то

${\displaystyle f(A)=\operatorname {diag} (f(\lambda _{1}),\ldots ,f(\lambda _{n})).}$

Для характеристичного полінома ${\displaystyle \ p_{A}(\lambda _{1})=\ldots =p_{A}(\lambda _{n})=0,}$ тому одержуємо ${\displaystyle p_{A}(A)=\operatorname {diag} (0,\ldots ,0).}$

Позначимо через ${\displaystyle \ B}$ союзну матрицю для характеристичної матриці ${\displaystyle \ \lambda I_{n}-A.}$

Елементи матриці В є алгебраїчними доповненнями елементів визначника ${\displaystyle \lambda I_{n}-A,}$ і тому є многочленами від λ, степені не вище n-1. Отже матрицю В можна представити у вигляді полінома з матричними коефіцієнтами:

${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}\lambda ^{i}B_{i}.}$

За властивостями союзних матриць:

${\displaystyle B\cdot (\lambda I_{n}-A)=\det(\lambda I_{n}-A)I_{n}=p(\lambda )I_{n}}$

Нехай:

${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}+\lambda ^{n-1}c_{n-1}+\cdots +\lambda c_{1}+c_{0},}$

Підставимо і отримаємо:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}\lambda ^{i}B_{i}(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}I_{n}+\lambda ^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +\lambda c_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},\,}$

Розкриваючи дужки і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях λ, одержимо:

${\displaystyle I_{n}=B_{n-1}\,}$

${\displaystyle c_{i}I_{n}=B_{i-1}-B_{i}\cdot A,\qquad 0<i<n}$

${\displaystyle c_{0}I_{n}=-B_{0}\cdot A}$

Помножимо ці рівності відповідно на ${\displaystyle \ A^{n},A^{n-1},\ldots ,I_{n}}$ справа і додамо. Всі члени правої частини скоротяться і ми одержимо

${\displaystyle p(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=0.}$