Теорема Гана про розклад

У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри.

Твердження теореми

Для будь-якого вимірного простору $(X,\Sigma )$ і будь-якого сигма-адитивного заряду $\mu$ , визначеного на $\sigma$ -алгебрі $\Sigma$ існують $\Sigma$ -вимірні множини $P$ і $N$ для яких:

$P\cup N=X$ і $P\cap N=\varnothing$ .
Для кожної множини $E\in \Sigma$ такого, якщо $E\subseteq P$ , то $\mu (E)\geqslant 0$ , тобто на всіх вимірних підмножинах множини $P$ значення заряду $\mu$ є не меншим 0 (множини $P$ із такою властивістю називаються додатними).
Для кожної множини $E\in \Sigma$ такого, якщо $E\subseteq N$ , то $\mu (E)\leqslant 0$ , тобто на всіх вимірних підмножинах множини $N$ значення заряду $\mu$ є не більшим 0 (множини $N$ із такою властивістю називаються від'ємними).

Більше того, цей розклад є майже єдиним у сенсі, що для будь-якої іншої пари $(P',N')$ множин із $\Sigma$ для яких виконуються ці три умови, симетричні різниці $P\triangle P'$ і $N\triangle N'$ є мають міру нуль разом із усіма їх підмножинами.

Пара $(P,N)$ називається розкладом Гана заряду $\mu$ .

Доведення

Можна вважати, що $\mu$ не приймає значення $-\infty$ (в іншому випадку можна розглядати міру $-\mu$ ).

Твердження про від'ємні множини

Нехай $D\in \Sigma$ і $\mu (D)\leqslant 0$ . Тоді існує від'ємна множина $A\subseteq D$ ( тобто множина $A\in \Sigma$ , така що для кожної $\Sigma$ -вимірної підмножини $B\subseteq A$ , також $\mu (B)\leqslant 0$ ) для якої $\mu (A)\leqslant \mu (D)$ .

Доведення

Нехай $A_{0}:=D$ і за припущенням індукції для $n\in \mathbb {N} _{0}$ побудована множина $A_{n}\subseteq D$ . Нехай $t_{n}$ позначає супремум $\mu (B)$ для усіх $\Sigma$ -вимірних підмножин $B$ множини $A_{n}$ . Цей супремум може бути нескінченним. Оскільки порожня множина $\varnothing$ є підмножиною $A_{n}$ , то $t_{n}\geqslant 0$ . Згідно означення $t_{n}$ , існує $\Sigma$ -вимірна підмножина $B_{n}\subseteq A_{n}$ , для якої

\mu (B_{n})\geqslant \min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).

Тоді крок індукції завершується якщо прийняти $A_{n+1}:=A_{n}\setminus B_{n}$ . Остаточно нехай:

A:=D{\Bigg \backslash }\bigcup _{n=0}^{\infty }B_{n}.

Оскільки множини $(B_{n})_{n=0}^{\infty }$ попарно не перетинаються, то із сигма адитивності заряду $\mu$ випливає, що

\mu (A)=\mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B_{n})\leqslant \mu (D)-\sum _{n=0}^{\infty }\min \!\left(1,{\frac {t_{n}}{2}}\right).

Зокрема звідси випливає, що $\mu (A)\leqslant \mu (D)$ . Якщо $A$ не є від’ємною множиною то існує $\Sigma$ -вимірна підмножина $B\subseteq A$ , яка задовольняє $\mu (B)>0$ . Оскільки за побудовою також $B\subseteq A_{n}$ для кожного $n\in \mathbb {N} _{0}$ то і $t_{n}\geqslant \mu (B)$ , тож сума ряду праворуч є рівною $+\infty$ і тому також $\mu (A)=-\infty$ , що суперечить припущенню. Отже такої множини $B$ не існує і $A$ є від’ємною множиною.

Побудова розкладу Гана

Нехай $N_{0}=\varnothing$ і, за індукцією, при вже наявному $N_{n}$ нехай $s_{n}$ позначає інфімум $\mu (D)$ для усіх $\Sigma$ -вимірних підмножин $D$ множини $X\setminus N_{n}$ . Цей інфімум може бути рівним $-\infty$ . Оскільки порожня множина $\varnothing$ є підмножиною $X\setminus N_{n}$ то $s_{n}\leqslant 0$ . Отже, існує $\Sigma$ -вимірна підмножина $D_{n}\subseteq X\setminus N_{n}$ для якої

\mu (D_{n})\leqslant \max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)\leqslant 0.

Згідно з наведеним вище твердженням існує від'ємна множина $A_{n}\subseteq D_{n}$ така, що $\mu (A_{n})\leqslant \mu (D_{n})$ . Тоді для завершення кроку індукції можна позначити $N_{n+1}:=N_{n}\cup A_{n}$ .

Остаточно також

N:=\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}.

Оскільки множини $(A_{n})_{n=0}^{\infty }$ попарно не перетинаються, для кожної $\Sigma$ -вимірної підмножини $B\subseteq N$ :

\mu (B)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (B\cap A_{n})

згідно сигма-адитивності заряду $\mu$ . Зокрема $N$ є від’ємною множиною. Якщо позначити $P:=X\setminus N$ то $P$ є додатною множиною. Якби це було не так, то існувала б $\Sigma$ -вимірна підмножина $D\subseteq P$ для якої $\mu (D)<0$ . Але тоді $s_{n}\leqslant \mu (D)$ для всіх $n\in \mathbb {N} _{0}$ і

\mu (N)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (A_{n})\leqslant \sum _{n=0}^{\infty }\max \!\left({\frac {s_{n}}{2}},-1\right)=-\infty ,

що суперечить припущенню про $\mu$ . Отже, $P$ є додатною множиною.

Властивість майже єдиності

Якщо $(N',P')$ є ще одним розкладом Гана для $X$ , то $P\cap N'$ є водночас додатною і від'ємною множиною. Отже, кожна його вимірна підмножина має міру нуль. Те ж саме стосується і $N\cap P'$ . Рівності:

P\triangle P'=N\triangle N'=(P\cap N')\cup (N\cap P'),

і адитивність заряду завершують доведення теореми.

Розклад Жордана заряду

Наслідком теореми Гана про розклад є Теорема Жордана про розклад, яка стверджує, що для кожного сигма-адитивного заряду $\mu$ заданого на $\Sigma$ існує розклад $\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$ на різницю двох мір $\mu ^{+}$ і $\mu ^{-}$ , принаймні одна із яких є скінченною.

Теорема Жордана відразу випливає із теореми Гана, якщо для довільної $\Sigma$ -вимірної множини $E$ відповідні міри визначити як:

{\mu ^{+}}(E):=\mu (E\cap P)

{\mu ^{-}}(E):=-\mu (E\cap N)

для будь-якого розкладу Гана $(P,N)$ заряду $\mu$ .

Для побудованих так мір також для будь якого розкладу Гана $(P,N)$ також ${\mu ^{+}}(E)=0$ для $\Sigma$ -вимірних підмножин $E\subseteq N$ і ${\mu ^{-}}(E)=0$ для $\Sigma$ -вимірних підмножин $E\subseteq P$ .

Міри $\mu ^{+}$ і $\mu ^{-}$ визначені за допомогою розкладу Гана називаються додатною і від'ємною складовою заряду $\mu$ відповідно. Пара $(\mu ^{+},\mu ^{-})$ називається розкладом Жордана (або розкладом Гана — Жордана) заряду $\mu$ . Розклад Жордана є єдиним, його означення не залежить від вибору розкладу Гана.

Еквівалентно означення мір із розкладу Жордана $(\mu ^{+},\mu ^{-})$ для заряду $\mu$ можна одержати із рівностей

{\mu ^{+}}(E)=\sup _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B)

\mu ^{-}(E)=-\inf _{B\in \Sigma ,~B\subseteq E}\mu (B).

для будь-якого $E$ у $\Sigma$ .

Розклад Жордана є мінімальним із усіх розкладів заряду як різниці мір: якщо також $\mu =\nu ^{+}-\nu ^{-}$ для пари $(\nu ^{+},\nu ^{-})$ невід’ємних мір на $X$ , то

\nu ^{+}\geqslant \mu ^{+},\quad \nu ^{-}\geqslant \mu ^{-}.

Міри $(\mu ^{+},\mu ^{-})$ із розкладу Жордана є сингулярними. Міра $|\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}$ називається повною варіацією заряду $\mu .$

Див. також

Заряд (теорія міри)

Посилання

Hahn decomposition theorem на сайті PlanetMath.
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Hahn decomposition. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001). Jordan decomposition of a signed measure. Encyclopedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

Література

Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure -- Third Edition. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2.
Fischer, Tom (2012). «Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition». arXiv:1206.5449 [math.ST].

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.