Сигма-адитивність

Нехай ${\displaystyle \mu }$ — функція, означена на алгебрі множин ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ зі значеннями у [−∞, +∞] (див. розширена дійсна пряма). Функція ${\displaystyle \mu }$ називається адитивною (або скінченно-адитивною), якщо для неперетинних множин A і B з ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ маємо

${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).\,}$

(Як наслідок цього адитивна функція не може набувати ані −∞, ані +∞ як значень, бо вираз ∞ − ∞ невизначений.)°

Використовуючи математичну індукцію можна довести, що адитивна функція задовольняє

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu (A_{n})}$

для будь-яких множин ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{N}}$ з ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$, які не перетинаються.

Припустимо, що ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ це σ-алгебра. Якщо для будь-якої послідовності ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots }$ попарно неперетинних множин з ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$, виконується

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$,

кажуть, що μ — зліченно-адитивна (або σ-адитивна).
Будь-як σ-адитивна функція також адитивна, але не навпаки.

Прикладом σ-адитивної функції може бути функція μ означена на булеані дійсних чисел, так що

${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ якщо }}0\in A\\0&{\mbox{ якщо }}0\notin A.\end{cases}}}$

Якщо ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},\dots }$ це послідовність неперетинних множин дійсних чисел, тоді або жодна з них не містить 0, або лише одна. У будь-якому разі, рівність

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$

дотримується.