Сингулярні міри

Взаємно сингулярні міри

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ — вимірний простір, а ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ — міри над цим простором. Ці міри називаються взаємно сингулярними, (позначається ${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$) якщо існує розбиття X на дві непорожні множини ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ із порожнім перетином для яких:

${\displaystyle \mu }$ є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у ${\displaystyle B,}$ а ${\displaystyle \nu }$ є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у ${\displaystyle A.}$

• Дельта-функція Дірака, зосереджена у точці евклідового простору задає сингулярну міру (відносно міри Лебега). Відповідна міра є рівною 1 для вимірних множин, що містять вказану точку і 0 для множин, що не містять її.
• Розподіл Кантора має неперервну (але не абсолютно неперервну) функцію розподілу (функцію Кантора). Незважаючи на неперервність функції розподілу, відповідна міра ймовірності є сингулярною із мірою Лебега. Іншими подібними прикладами є функції Мінковського і Салема. В усіх випадках міру конкретної вимірної множини ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ можна одержати за допомогою інтеграла Лебега — Стілтьєса, як ${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}1df.}$ Наприклад для випадку із функцією Кантора, якщо ${\displaystyle C}$ — множина Кантора то ${\displaystyle \mu (C)=\int _{C}1df=1}$ і ${\displaystyle \mu ([0,1]\setminus C)=\int _{[0,1]\setminus C}1df=0}$, а міра Лебега множини Кантора дорівнює нулю. Тоді ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle [0,1]\setminus C}$ і є тим розбиттям, яке демонструє взаємну сингулярність міри Лебега і міри породженої функцією Кантора на одиничному інтервалі.

• Абсолютна неперервність
• Заряд (теорія міри)
• Міра множини
• Сингулярна функція
• Теорема Лебега про розклад міри