Теорема Гуревича

Для будь-якого лінійно зв'язаного топологічного простору X і додатного числа n існує гомоморфізм груп

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X),}$

що називається гомоморфізмом Гуревича і відображає n-ну група гомотопій у n-ну групу гомологій (із цілочисловими коефіцієнтами). Гомоморфізм Гуревича задається у такий спосіб: нехай ${\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})}$ є канонічним генератором (група ${\displaystyle H_{n}(S^{n})}$ є ізоморфною адитивній групі цілих чисел і має два генератори) і елемент ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$ є класом еквівалентності відображення ${\displaystyle f:S^{n}\to X.}$ Тоді відображення f породжує відображення ${\displaystyle f_{*}:H_{n}(S^{n})\to H_{n}(X)}$ і за означенням ${\displaystyle h_{*}([f])=f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X).}$

Теорема Гуревича стверджує, що для ${\displaystyle n=1}$ цей гомоморфізм породжує ізоморфізм

${\displaystyle {\tilde {h}}_{*}\colon \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X)}$

між абелізацією першою групою гомотопій (фундаментальної групи) і першою групою гомологій.

Для ${\displaystyle n\geq 2}$ у випадку, якщо X є ${\displaystyle (n-1)}$-зв'язаним простором (тобто ${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong 0,\quad 1\leq i\leq n-1}$), відображення Гуревича ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$ є ізоморфізмом, а відображення Гуревича ${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)}$ є епіморфізмом [1]

Для будь-якої пари топологічних просторів ${\displaystyle (X,A)}$ і цілого числа ${\displaystyle k>1}$ існує гомоморфізм

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X,A)\to H_{k}(X,A)}$

із відносних груп гомотопій у відносні групи гомологій. Відносна теорема Гуревича стверджує, що якщо ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle A}$ є зв'язаними і пара цих просторів є ${\displaystyle (n-1)}$-зв'язаною (тобто ${\displaystyle \pi _{i}(X,A)\cong 0,\quad 1\leq i\leq n-1}$), то ${\displaystyle H_{k}(X,A)=0}$ для ${\displaystyle k<n}$ і ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ одержується із ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ факторизацією дії групи ${\displaystyle \pi _{1}(A)}$. Доведення цього варіанту теореми є у, наприклад, книзі Whitehead, (1978).

Для кожної трійки просторів ${\displaystyle (X;A,B)}$ (тобто простору X і підпросторів A, B) і цілого числа ${\displaystyle k>2}$ існує гомоморфізм

${\displaystyle h_{*}\colon \pi _{k}(X;A,B)\to H_{k}(X;A,B)}$

із групи гомотопій трійки у групу гомологій трійки. У цьому випадку також

${\displaystyle H_{k}(X;A,B)\cong H_{k}(X\cup (C(A\cup B))).}$

Теорема Гуревича для трійок просторів стверджує, що якщо X, A, B і ${\displaystyle C=A\cap B}$ є зв'язаними просторами, пари просторів ${\displaystyle (A,C)}$ і ${\displaystyle (B,C)}$ є ${\displaystyle (p-1)}$-зв'язаними і ${\displaystyle (q-1)}$-зв'язаними відповідно і трійка ${\displaystyle (X;A,B)}$ є ${\displaystyle (p+q-2)}$-зв'язаною, тоді ${\displaystyle H_{k}(X;A,B)=0}$ для всіх ${\displaystyle k<p+q-2}$ і ${\displaystyle H_{p+q-1}(X;A)}$ одержується із ${\displaystyle \pi _{p+q-1}(X;A,B)}$ факторизацією дій групи ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B)}$ і узагальнених груп Вайтхеда. Доведення цього твердження використовує теореми вищого порядку типу ван Кампена для гомотопічних груп трійок, при чому використовується поняття ${\displaystyle \operatorname {cat} ^{n}}$-групи n-куба просторів.

Варіант теореми Гуревича можна також дати для n-зв'язаних симпліціальних множин, що задовольняють умову Кана.[2]

Раціональна теорема Гуревича:[3][4] Нехай X є однозв'язаним топологічним простором, для якого ${\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$ для ${\displaystyle i\leq r}$. Відображення Гуревича

${\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} \colon \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )}$

породжує ізоморфізм для ${\displaystyle 1\leq i\leq 2r}$ і є сюр'єктивним для ${\displaystyle i=2r+1}$.