Алгебрична топологія

Одна з основних ідей алгебричної топологі полягає у тому, щоб розгладати два простори як еквівалентні, якщо вони мають "однакову форму" у деякому сенсі, більш широкому, ніж гомеоморфізм. Це приводить до наступного визначення. Деформаційна ретракція простору ${\displaystyle X}$ на простір ${\displaystyle A}$ - клас відображень ${\displaystyle f_{t}:X\rightarrow X,\,\,\,\,t\in I,}$ для якого ${\displaystyle f_{0}=1}$ (тотожне відображення), ${\displaystyle f_{1}(X)=A}$ та ${\displaystyle f_{t}|_{A}=\mathbb {1} \,\,\,\forall t.}$ Клас ${\displaystyle f_{t}}$ повинен бути неперервним у тому сенсі, що відображення ${\displaystyle X\times I\rightarrow X,}$ задане формулою ${\displaystyle (x,t)\mapsto f_{t}(x),}$ є неперервним. Деформаційна ретракція ${\displaystyle f_{t}:X\rightarrow X}$ є частковим випадком гомотопії, який є просто класом відображень ${\displaystyle f_{t}:X\rightarrow X,\,\,\,\,t\in I,}$ для якого відображення ${\displaystyle F:X\times I\rightarrow Y,}$ задане формулою ${\displaystyle f(x,t)=f_{t}(x),}$ є неперервним.

Таким чином, деформаційна ретракція простору ${\displaystyle X}$ на підпростір ${\displaystyle A}$ - це гомотопія тотожного відображення простору ${\displaystyle X}$ у ретракцію ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle A,}$ тобто відображення ${\displaystyle r:X\rightarrow X,}$ для якого ${\displaystyle r(X)=A}$ й ${\displaystyle r|_{A}=\mathbb {1} .}$

Можна також розглядати ретракцію як відображення ${\displaystyle X\rightarrow A,}$ обмеження якого на підпростір ${\displaystyle A\subset X}$ є тотожним. З більш формальної точки зору ретракція - це відображення ${\displaystyle r:X\rightarrow X,}$ для якого ${\displaystyle r^{2}=r,}$ оскільки це співвідношення в точності значить, що ${\displaystyle r}$ є тотожним на своєму образі. Ретракції - це аналоги проекторів, які зустрічаються у інших розділах математики[1].

Методи алгебричної топології засновані на припущенні, що алгебричні структури влаштовані простіше, ніж топологічні.

Крім різних гомологій (зараз дуже велике значення набули екстраординарні гомології, наприклад теорія бордизмів або ${\displaystyle K}$-теорія) для алгебричної топології важливі гомотопічні групи ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$. З них головною є ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ — так звана фундаментальна група, на відміну від груп решти вимірностей, що можуть бути неабелевими.

В цьому розділі перелічені основні області, які вивчає алгебраїчна топологія:

Комплекси

Симпліціальний 3-комплекс.

Симпліціальний комплекс це топологічний простір певного типу, побудований шляхом "склеювання до купи" точок, лінійних відрізків, трикутників, та їх n-вимірних відповідників (див. ілюстрацію). Симпліціальні комплекси не слід плутати із більш абстрактним поняттям Симпліціальної множини, яке зустрічається в сучасній симпліциальній теорії гомотопії. Суто комбінаторним відповідником симпліциальному комплексу є абстрактний симпліціальний комплекс.

CW-комплекс це тим топологічного простору запропонований Д. Г. К. Вайтгедом з метою узгодити потреби теорії гомотопії. Цей клас просторів є ширшим і має дещо кращі властивості категорій ніж симпліціальні комплекси, але залишає відповідати комбінаторній природі, що дозволяє здійснювати розрахунки (часто із набагато меншим комплексом).

Як приклад застосування методів алгебричної топології можна навести доказ знаменитої теореми Брауера. Тут ${\displaystyle D_{n}}$ означає замкнена ${\displaystyle n}$-вимірна куля, ${\displaystyle S_{N-1}}$ — її ${\displaystyle (n-1)}$-вимірна границя (сфера):

Будь-яке неперервне відображення ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$-вимірної кулі ${\displaystyle D_{n}}$ у себе має нерухому точку, тобто таку точку ${\displaystyle x}$, що ${\displaystyle f(x)=x}$

Неважко бачити, що для цього достатньо довести наступну лему:

Не існує неперервного відображення ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$-вимірної кулі ${\displaystyle D_{n}}$ на свою границю ${\displaystyle S_{n-1}}$ такого, що ${\displaystyle g(x)=x}$ для всіх точок границі (що називається ретракцією)

Дійсно, якщо у відображенні ${\displaystyle f}$ немає нерухомих точок, то ми можемо побудувати відображення ${\displaystyle g}$ кулі на сферу провівши для кожної точки кулі ${\displaystyle x}$ промінь, що виходить з ${\displaystyle f(x)}$ і проходить через ${\displaystyle x}$ (у разі відсутності нерухомих точок це різні точки). Точку перетину променя зі сферою ${\displaystyle S_{n-1}}$ позначимо через ${\displaystyle y}$ і покладемо ${\displaystyle g(x)=y}$. Ясно, що отримане відображення є неперервним, і якщо ${\displaystyle x}$ належить сфері, то ${\displaystyle g(x)=x}$. Ми отримали ретракцію кулі на сферу, що за лемою неможливо. Значить нерухомі точки (хоча б одна) повинні існувати.

Тепер найбільша складність полягає у доведені леми. Нехай існує така ретракція ${\displaystyle g}$. Позначимо ${\displaystyle i}$ — вкладення сфери в кулю ${\displaystyle i(x)=x}$. Маємо: добуток відображень ${\displaystyle gi=\mathrm {id} }$ — тотожне відображення сфери (спочатку ${\displaystyle i}$, потім ${\displaystyle g}$). Одним з найголовніших інструментів алгебричної топології є так звані групи гомології (наприклад, сімпліциальні або сингулярні). Кожному топологічному простору ${\displaystyle X}$ відповідає в кожній розмірності ${\displaystyle n}$ своя абелева група гомології ${\displaystyle H_{n}(X)}$, а кожному неперервному відображенню ${\displaystyle f:X\to Y}$ відповідає гомоморфізм груп ${\displaystyle f_{*}:H_{n}(X)\to H_{n}(Y)}$, причому добутку відображень ${\displaystyle fg}$ відповідає добуток гомоморфізмів ${\displaystyle f_{*}g_{*}}$, а тотожному відображенню ${\displaystyle \mathrm {id} }$ відповідає тотожний ізоморфізм ${\displaystyle \mathrm {id} _{*}}$. (Мовою теорії категорій це означає, що група гомології є коваріантним функтором з категорії топологічних просторів у категорію абелевих груп).

Тепер повертаємося до нашої леми. Легко довести, що ${\displaystyle H_{n-1}(S_{n-1})=\mathbf {Z} }$, а ${\displaystyle H_{n-1}(D_{n})=0}$. Тоді відображення ${\displaystyle g_{*}:H_{n-1}(D_{n})\to H_{n-1}(S_{n-1})}$ буде відображенням в 0 але, з іншого боку, оскільки ${\displaystyle gi=\mathrm {id} }$, маємо ${\displaystyle g_{*}i_{*}=\mathrm {id} _{*}:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} }$ — є не нульовим гомоморфізмом, ізоморфізму, а тотожним. Таким чином, лема доведена.

Звичайно, є й неалгебричні доведення теореми Брауера, але введення гомології відразу дозволило легко довести безліч тверджень, які раніше здавалися непов'язаними одне з одним.

Деякі теореми алгебричної топології були відомі ще Ейлеру, наприклад, що для всякого опуклого многогранника з числом вершин ${\displaystyle V}$, ребер ${\displaystyle E}$ і граней ${\displaystyle F}$ має місце ${\displaystyle V-E+F=2}$.

Топологічними питаннями цікавилися Гаус і Ріман.

Але основну роль у створенні алгебричної топології як науки зіграв Пуанкаре — саме йому належать поняття симпліціальної гомології та фундаментальної групи. Великий внесок зробили Александер, Веблен, Лефшец, Уайтхед, Борсук, Гуревич, Стінрод, Ейленберг, Серр, Том, Атія, Хірцебрух, Ботт, Адамс Смейл, Мілнор, Квіллен, П С. Александров, Колмогорова, Понтрягін, Люстерник, Рохлін, Новіков, Фоменко, Концевич, Воєводський, Перельман.

• (англ.) Курс лекцій Algebraic Topology, a beginner's course на YouTube, N. J. Wildberger (University of New South Wales).

• Hatcher A. Algebraic Topology
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997
• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Задачный учебник по топологии
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд., испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО,2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989
• Ковальов С. М., Гумен М. С., Пустюльга С. І., Михайленко В.Є, Бурчак І. Н. Прикладна геометрія та іженерна графіка. Спеціальні розділи. Випуск 1. — Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2006. — 256 с. (С. 90)

• Топологія