Теорема Зейферта — Ван Кампена

Нехай ${\displaystyle X}$ — топологічний простір, і ${\displaystyle V,U\subset X}$ — дві зв'язні відкриті множини для яких перетин ${\displaystyle W=V\cap U}$ також є зв'язною множиною і ${\displaystyle X=V\cup U}$. Зафіксуємо точку ${\displaystyle p\in W}$. Включения

${\displaystyle W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X}$

породжують гомоморфізми відповідних фундаментальних груп

${\displaystyle I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)}$, ${\displaystyle J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)}$, ${\displaystyle \pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)}$ і ${\displaystyle \pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)}$.

Згідно теореми Зейферта — ван Кампена, ці чотири гомоморфізми задають розшарований кодобуток у категорії груп, тобто

${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).}$

Іншими словами фундаментальна група ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$ є вільним добутком з амальгамацією фундаментальних груп ${\displaystyle \pi _{1}(U,p),\ \pi _{1}(V,p)}$ щодо відображень ${\displaystyle I,\ J.}$

• Якщо перетин ${\displaystyle W}$ є однозв'язним, то

  ${\displaystyle \pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),}$

тобто фундаментальна група ${\displaystyle X}$ є ізоморфною вільному добутку фундаментальних груп ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$.

• Зокрема,

${\displaystyle \pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),}$ для букета ${\displaystyle X_{1}\vee X_{2}}$ зв'язних і локально однозв'язних просторів ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$.

• Простір є однозв'язним якщо для нього існує покриття двома однозв'язними відкритими множинами із зв'язним перетином.
  • Наприклад сферу ${\displaystyle X=S^{2}}$ можна покрити двома дисками ${\displaystyle U=S^{2}\backslash \{n\}}$ і ${\displaystyle V=S^{2}\backslash \{s\}}$, де ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle s}$ позначають відповідно північний і південний полюси. Перетин ${\displaystyle W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}}$ є зв'язною множиною і по теоремі Зейферта — ван Кампена фундаментальна група ${\displaystyle W}$ також є тривіальною.

• Існує узагальнення теореми для фундаментальних групоїдів. Воно дозволяє розглядати випадок коли ${\displaystyle W}$ не є зв'язаною множиною.
• Послідовність Маєра — Вієторіса — аналогічна теорема для груп гомологій.

• Вільний добуток
• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Фундаментальна група

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — Москва : МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.