Послідовність Маєра — Вієторіса

Послідовність Маєра — Вієторіса довга точна послідовність, яка пов'язує гомології чи когомології топологічного простору з гомологіями чи когомологіями двох відкритих множин, що його покривають і їх перетину.

Названа на честь двох австрійських математиків, Вальтера Маєра і Леопольда Вієторіса.

Послідовність Маєра — Вієторіса є натуральною.

Послідовність Маєра — Вієторіса можна написати для різних теорій (ко)гомологій, зокрема сингулярних а також для всіх теорій, які задовольняють аксіоми Ейленберга — Стінрода. Вона також узагальнюється на випадок відносних (ко)гомологій.

Послідовність Маєра — Вієторіса є аналогом теореми Зейферта — Ван Кампена для фундаментальної групи.

Формулювання

Припустимо, що топологічний простір X є рівним об'єднанню відкритих підмножин A і B. Тоді отримується точна послідовність, що і називається послідовністю Маєра — Вієторіса:

Відображення , , , є відображеннями включення і позначає пряму суму абелевих груп.

Відображення границі

Відображення границі ∂* може бути задане в такий спосіб.[1] Нехай елемент в Hn (X) представляється n-циклом х, який, при застосуванні барицентричного поділу наприклад, може бути записаний як сума двох n-ланцюгів u і v образи яких лежать повністю в A і B, відповідно. Таким чином, ∂х = ∂(u + v) = 0, так що ∂u = -∂v. Це означає, що образи обох цих граничних (n-1)-циклів містяться в перетині AB. Тоді ∂*([X]) це клас ∂u в Hn-1(A∩B). При цьому вибір розкладу u + v не впливає на [∂u].

Відображення в послідовності залежать від вибору порядку для A і B. Зокрема, границя змінює знак, якщо A і B міняються місцями.

Редуковані гомології

Для редукованих гомологій також задовольняють послідовності Маєра — Вієторіса, в припущенні, що A І B мають непорожній перетин.[2] Послідовність ідентична але закінчується, як:

Відносні гомології

Для відносних гомологій послідовність Маєра — Вієторіса записується як:

Приклади використання

Гомологія сфери

розклад сфери

Щоб обчислити гомології k-вимірної сфери Sk , нехай A і B півсфери в X з перетином гомотопічно еквівалентним (k−1)-вимірній екваторіальній області. Оскільки k-вимірні півкулі є гомеоморфними k-вимірним кулям, групи гомологій A і B є тривіальними. Натомість їх перетин гомотопічно еквівалентний сфері розмірності (k−1).

Послідовність Маєра — Вієторіса має вигляд

З точності послідовності випливає, що гомоморфізм ∂* є ізоморфізмом. Використовуючи редуковані гомології для 0-сфери (двох точок) в якості бази математичної індукції, одержуємо[3]
[4]

Пляшка Клейна

Розклад Пляшки Клейна на дві стрічки Мебіуса, червону і синю.

Для обчислення гомологій пляшки Клейна, запишемо її, як об'єднання двох стрічок Мебіуса A і B склеєних уздовж їх граничної кола . Тоді A, B і їх перетин A∩ B є гомотопно еквівалентними колу. Нетривіальна частина послідовності дає[5]

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2. Образом 1 при відображенні α є (2, −2) оскільки граничне коло стрічки Мебіуса двічі обертається навколо центрального кола. Зокрема α є ін'єктивним відображенням, тож гомологічна група розмірності 2 також є нульовою. Нарешті, вибираючи (1, 0) і (1, -1) як базис для Z2, отримуємо

Тор

Відображення границі ∂* на торі, де 1 цикл x = u + v — сума двох 1-ланцюгів, границя якої лежить в перетині A і B.

Нехай — звичайний тор. Тоді X = AB, де A і B є відкритими підмножинами як зображено на малюнку.

Множини A і B є гомотопно еквівалентними колу і тому їх групи гомологій рівні групам гомологій кола. Натомість AB є гомотопно еквівалентним двом окремим колам і тому його групи гомологій є рівними прямим сумам груп для двох кіл. Також

Нетривіальна частина послідовності для редукований гомологій має вигляд

а з інших елементів послідовності випливає рівність нулю гомологій розмірностей більше, ніж 2.

Відображенні α задане як . Ядром цього відображення є підгрупа елементів виду (n, -n), яка є ізоморфною групі цілих чисел. Звідси також

Образ відображення α відповідно теж є ізоморфним групі цілих чисел, як і образ і ядро відображення β.Як наслідок ядро і образ гомоморфізму ∂* теж є ізоморфним групі цілих чисел і відповідно

Остаточно:

Букет просторів

Розклад простору X — букета двох сфер сфер K and L. Цей розклад дозволяє обчислити гомологічну групу простору X.

Нехай X буде букет двох просторів K і L, і припустимо, крім того, що виділена точка є деформаційним ретрактом з відкритих околів UK і VL. Позначивши A = KV і B = UL одержуємо, що AB = X and AB = UV, які є стягуваними просторами згідно означень. Тоді із редукованої версії послідовності одержуємо:[6]

для всіх розмірностей n.

На малюнку показаний букет двох сфер. Для цього конкретного випадку, використовуючи результат вище для 2-сфер:

Надбудови

Якщо простір X є надбудовою SY простору Y, нехай A і B позначають доповнення у X верхньої і нижньої вершин. Тоді X є рівним AB і A з B є стягуваними просторами. Перетин AB є гомотопно еквівалентним простору Y. Тому із послідовності Маєра — Вієторіса випливає, що для всіх n,[7]

This decomposition of the suspension X of the 0-sphere Y yields all the homology groups of X.

На малюнку справа показано, що коло X є надбудовою простору Y двох точок. Загалом k-сфера є надбудовою (k − 1)-сфери і звідси знову можна отримати вираз для гомологічних груп сфер.

Натуральність

Якщо ƒ є неперервним відображенням із X1 у X2, то існує гомоморфізм ƒ гомологічних груп ƒ : Hk(X1)  Hk(X2) і при цьому .

Подібно, якщо X1 = A1B1 і X2 = A2B2 і для відображення ƒ виконуються умови ƒ(A1) ⊂ A2 іƒ(B1) ⊂ B2, тоді граничний гомоморфізм ∂ послідовності Маєра — Вієторіса комутує з ƒ.[8] Інакше кажучи[9] отримується така комутативна діаграма:

Примітки

  1. Hatcher 2002 ст. 150
  2. Spanier 1966 ст. = 187
  3. Hatcher 2002 Example 2.46 ,ст. 150
  4. Hatcher 2002 ст = 384
  5. Hatcher 2002 ст. = 151
  6. Hatcher 2002 Exercise 31 ст. 158
  7. Hatcher, 2002, Exercise 32 on page 158
  8. Massey, 1984, p. 208
  9. Eilenberg & Steenrod, 1952, Theorem 15.4

Література

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.