Теорема Кантора — Гейне
Теорема Кантора — Гейне в математичному і функціональному аналізі стверджує, що функція, неперервна на компакті, рівномірно неперервна на ньому.
Формулювання
Нехай дано два метричних простори і Нехай також дано компактну підмножину і визначено на ній неперервну функцію Тоді рівномірно неперервна на .
Скористаємося доведенням від супротивного. Нехай — функція, що відповідає умовам теореми (на компакті ), але не рівномірно неперервна на ньому. Тоді існує таке , що для всіх існують такі та , відстань між якими менше , але відстань між їхніми образами не менше :
- але
Візьмемо послідовність , що сходяться до 0, наприклад, . Побудуємо послідовності і так, щоб
- , тоді
— компакт, тому можна виділити збіжні послідовності:
Але так як відстань між ними прагне до нуля, по лемі про вкладені відрізки вони прагнуть до однієї точки: . І, так як неперервна , що суперечить припущенню, що . Тому, функція, неперервна на компакті, дійсно рівномірно неперервна на ньому.
Зауваження
- Зокрема, неперервна дійснозначна функція, визначена на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.
- В умовах теореми компакт не можна замінити на довільну відкриту множину. Наприклад, функція
неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною.