Теорема Лейбніца про збіжність знакозмінних рядів

Ряд вигляду

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots }$

де усі елементи ${\displaystyle a_{n}}$ або додатні або від'ємні, називається знакопереміжним рядом.

Ознака Лейбніца: якщо послідовність ${\displaystyle \{|a_{n}|\}}$ спадає монотонно і ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$, тобто:

1. ${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n};}$
2. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$

то знакопереміжний ряд є збіжним.

Нехай задано ряд вигляду ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}a_{n}}$, де ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}$ і ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ для усіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. (Випадок ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$ випливає з цього доведення, якщо вибрати від'ємні члени.)[1]

Доведемо, що обидві часткові суми ${\displaystyle S_{2m+1}=\sum \limits _{n=1}^{2m+1}(-1)^{n-1}a_{n}}$ з непарною кількістю елементів та ${\displaystyle S_{2m}=\sum \limits _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}}$ з парною кількістю, збігаються до одного і того ж значення ${\displaystyle L}$. Тоді звичайна часткова сума ${\displaystyle S_{k}=\sum \limits _{n=1}^{k}(-1)^{n-1}a_{n}}$ також збігається до ${\displaystyle L}$.

Непарні часткові суми спадають монотонно

${\displaystyle S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3}\leq S_{2m+1},}$

у той час як парні часткові суми зростають монотонно

${\displaystyle S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2}\geq S_{2m}.}$

Обидва випадки виконуються тому, що значення ${\displaystyle a_{n}}$ зменшується монотонно із збільшенням ${\displaystyle n}$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

${\displaystyle S_{2m}=\sum \limits _{n=1}^{2m}(-1)^{n-1}a_{n}=(a_{1}-a_{2})+(a_{3}-a_{4})+\dots +(a_{2n-1}-a_{2n}).}$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність ${\displaystyle S_{2m}}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

${\displaystyle S_{2m}=a_{1}-(a_{2}-a_{3})-(a_{4}-a_{5})-\dots -(a_{2n-2}-a_{2n-1})-a_{2n},}$

тобто ${\displaystyle S_{2m}<a_{1}}$.

Запишемо часткову суму парного порядку так:

${\displaystyle S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1)^{n-1}a_{n}=\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{3}-a_{4}\right)+\ldots +\left(a_{2N-1}-a_{2N}\right),}$

Оскільки всі доданки в дужках більші нуля, то послідовність ${\displaystyle S_{2N}}$ є зростаючою. З іншого боку можна записати:

${\displaystyle S_{2N}=a_{1}-\left(a_{2}-a_{3}\right)-\left(a_{4}-a_{5}\right)-\ldots -\left(a_{2N-2}-a_{2N-1}\right)-a_{2N},}$

тобто ${\displaystyle S_{2N}<a_{1}}$.

Отже, послідовність парних часткових сум є обмеженою і зростаючою, а значить збіжною. Для непарних часткових сум маємо: ${\displaystyle S_{2m+1}=S_{mn}-a_{2n}}$ і оскільки ${\displaystyle a_{2n}}$ збігається до нуля, границя ${\displaystyle S_{2m+1}}$ існує і рівна границі ${\displaystyle S_{2m}}$. Дане число і буде сумою ряду.

Крім того, оскільки ${\displaystyle a_{n}}$ — додатні, то ${\displaystyle S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2n+1}\geq 0}$. Таким чином, використовуючи ці факти, можемо сформулювати наступну послідовність нерівностей

${\displaystyle a_{1}-a_{2}=S_{2}\leq S_{2m}\leq S_{2m+1}\leq S_{1}=a_{1}.}$

Зауважимо, що число ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ є нижньою межею монотонно спадаючої послідовності ${\displaystyle S_{2m+1}}$. Тоді з теореми Леві про монотонну збіжність випливає, що ця послідовність є збіжною при прямуванні ${\displaystyle m}$ до нескінченності. Збіжність послідовність парних часткових суми доводиться аналогічно.

Отже, вони збігаються до того ж числа, оскільки

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim _{m\to \infty }a_{2m+1}=0.}$

Позначимо границю як ${\displaystyle L}$, тоді теорема про монотонну збіжність додатково дає нам, що

${\displaystyle S_{2m}\leq L\leq S_{2m+1}}$

для будь-якого ${\displaystyle m}$. Це означає, що часткові суми знакопереміжного ряду також ``чергуються вище і нижче фінальної границі. Точніше, коли є непарна (парна) кількість членів, тобто останній член є додатнім (від'ємним), тоді часткова сума знаходиться вище (нижче) кінцевої границі.

Це розуміння негайно приводить до оцінки залишку часткових сум як показано нижче.

Покажемо, що ${\displaystyle |S_{k}-L|\leq a_{k+1}}$, розглянувши два випадки.

Якщо ${\displaystyle k=2m+1}$, тобто непарне, то

${\displaystyle |S_{2m+1}-L|=S_{2m+1}-L\leq S_{2m+1}-S_{2m+2}=a_{(2m+1)+1}.}$

Якщо ${\displaystyle k=2m}$, тобто парне, то

${\displaystyle |S_{2m}-L|=L-S_{2m}\leq S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1}.}$

Обидва випадки суттєво використовують останню нерівність, яку було отримано в попередньому доведенні.

Для альтернативного доведення використовують ознаку збіжності Коші, дивись знакопереміжний ряд.

Для узагальнення дивися ознаку Діріхле.

З теорем Лейбніца можна оцінити похибку обчислення суми ряду:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{m=0}^{n}a_{m}.}$

Залишок ряду ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n}}$ за модулем буде менше першого відкинутого доданку:

${\displaystyle \left|R_{n}\right|<\left|a_{n+1}\right|.}$

Усі умови ознаки, а саме збіжність до ${\displaystyle 0}$ і монотонність, мають виконуватися для того, щоб висновок був справедливим. Наприклад, розглянемо ряд

${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}+{\frac {1}{{\sqrt {3}}-1}}-{\frac {1}{{\sqrt {3}}+1}}+\cdots .}$

Знаки чергуються, а елементи прямують до нуля. Однак монотонність відсутня, що не дозволяє застосувати ознаку. Насправді ряд є розбіжним. Дійсно, для часткових сум ${\displaystyle S_{2n}}$ маємо ${\displaystyle S_{2n}={\frac {2}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {2}{3}}+\cdots +{\frac {2}{n-1}}}$, що є подвоєною частковою сумою гармонічного ряду, який є розбіжним. Таким чином, початковий ряд є розбіжним. Що й треба було довести.

• Знакопереміжний ряд
• Ознака Діріхле

↑ На практиці перші декілька членів можуть зростати. Важливо те, що ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ для усіх ${\displaystyle n}$, починаючи з деякого номера.[2]

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
• Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series, § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
• Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series, § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) A Course in Modern Analysis, 4th edition, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3

• Ознака Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 513. — 594 с.

• Ерік В. Вайсштайн

• Weisstein, Eric W. Leibniz Criterion(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.