Ознака Діріхле

Нехай виконуються такі умови:

• Послідовність ${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ обмежена, тобто ${\displaystyle \exists M>0:|B_{n}|\leqslant M\quad \forall n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle a_{n}\geqslant a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$.

Тоді ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ є збіжним.

Нехай виконуються умови:

• ${\displaystyle f(x)\in C[a,\;+\infty ]}$ і має на ${\displaystyle [a,\;+\infty ]}$ обмежену первісну ${\displaystyle F(x)}$, тобто ${\displaystyle \exists M>0:\quad |F(x)|\leqslant M\quad \forall x>a}$;
• функція ${\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leqslant 0\quad \forall x>a}$;
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=0}$.

Тоді ${\displaystyle \int \limits _{a}^{+\infty }f(x)g(x)\,dx}$ існує.

• Очевидно, також можна було визначити такі умови ${\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,\;+\infty ],\quad g(x)<0,\quad g'(x)\geqslant 0\quad \forall x>a}$.
• Умова монотонності в ознаці Діріхле є суттєвою.

${\displaystyle \int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{{\sqrt {x}}+\sin x}}\,dx=\infty .}$

Проте ця умова не є необхідною:

${\displaystyle \int \limits _{2}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x+2\sin x}}\,dx}$ — збігається.

• Ознака Абеля
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)