Теорема Лі

Нехай L — розв'язна підалгебра Лі в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$, де простір V є скінченновимірним над алгебрично замкнутим полем характеристики 0 і не рівний нульовому простору. Тоді V містить спільний власний вектор для всіх ендоморфізмів з L. Як наслідок в деякому базисі простору матриці елементів з L є верхніми трикутними (чи, еквівалентно, L відображає в себе деякий повний прапор підпросторів V).

Застосуємо індукцію по розмірності L . Випадок ${\displaystyle \operatorname {dim} L=0}$ є тривіальним.

Оскільки підалгебра L є розв'язною і її розмірність є додатною, L строго включає [L, L]. Алгебра L/[L, L] є комутативною і тому будь-який підпростір у ній є ідеалом. Візьмемо в ній підпростір корозмірності 1, тоді його прообраз К — ідеал корозмірності 1 в L (що містить [L, L]).

За припущенням існує спільний власний вектор ${\displaystyle v\in V}$ для К (зрозуміло, що ідеал К є розв'язним; якщо К = 0, то алгебра L є комутативною розмірності 1 і будь-який власний вектор для базисного елемента з L дозволяє завершити доведення). Це означає, що для ${\displaystyle x\in K}$ буде виконуватися рівність ${\displaystyle xv=\lambda (x)v,}$ де ${\displaystyle \lambda :K\to F}$ — деяка лінійна функція. Зафіксуємо x і позначимо через W (ненульовий) підпростір

${\displaystyle \{w\in W:xw=\lambda (x)w,\;\forall x\in K\}.}$

Підпростір W є інваріантним при дії алгебри L . Нехай ${\displaystyle w\in W,x\in L}$. Щоб перевірити, що xw належить W, візьмемо довільний елемент ${\displaystyle y\in K}$ і розглянемо вираз ${\displaystyle yxw=xyw-[x,y]w=\lambda (y)xw-\lambda ([x,y])w}$. Очевидно достатньо довести, що ${\displaystyle \lambda ([x,y])=0}$. Для цього зафіксуємо ${\displaystyle w\in W,x\in L.}$ Нехай n > 0 — найменше ціле число, для якого ${\displaystyle w,xw,...,x^{n}w}$ є лінійно залежними. Нехай ${\displaystyle W_{i}}$ — підпростір у V, породжений елементами ${\displaystyle w,xw,...,x^{i-1}w}$ (також ${\displaystyle W_{0}=0}$), так що ${\displaystyle \operatorname {dim} W_{n}=n,\;W_{n}=W_{n+i}\;(i\geqslant 0)}$ і x відображає ${\displaystyle W_{n}}$ у ${\displaystyle W_{n}.}$ Легко перевірити, що будь-який елемент ${\displaystyle y\in K}$ залишає кожен підпростір ${\displaystyle W_{i}}$ інваріантним. В базисі ${\displaystyle w,xw,...,x^{n-1}w}$ простору ${\displaystyle W_{n}}$ елемент ${\displaystyle y\in K}$ представляється верхньою трикутною матрицею з ${\displaystyle \lambda (y)}$ на діагоналі. Це випливає з порівнянь

${\displaystyle yx^{i}w=\lambda (y)x^{i}w\mod W_{i},}$,

які можна довести індукцією по i. Випадок i = 0 очевидний. Ми маємо ${\displaystyle yx^{i}w=yxx^{i-1}w=xyx^{i-1}w-[x,y]x^{i-1}w.}$ За припущенням індукції

${\displaystyle yx^{i-1}w=\lambda (y)x^{i-1}w+w'(w'\in W_{i-1})}$.

Оскільки x відображає ${\displaystyle W_{i-1}}$ в ${\displaystyle W_{i}}$ порівняння є правильними для всіх i. Згідно з визначенням дії елемента ${\displaystyle y\in K}$ на просторі ${\displaystyle W_{n}}$, ми маємо ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W_{n}}(y)=n\lambda (y).}$ Зокрема, це є вірним для елементів з К виду [x, y] (Елемент x такий же, як вище, ${\displaystyle y\in K}$ ). Але як x, так і y зберігають ${\displaystyle W_{n},}$ тому [x, y] діє на ${\displaystyle W_{n}}$ як комутатор двох його ендоморфізмів і тому його слід дорівнює нулю. Звідси випливає, що ${\displaystyle n\lambda ([x,y])=0.}$ Оскільки ${\displaystyle \operatorname {char} F=0,}$ то ${\displaystyle \lambda ([x,y])=0,}$ що завершує доведення інваріантності підпростору W щодо дії алгебри L.

Записавши ${\displaystyle L=K+Fz}$ і використовуючи алгебричну замкнутість поля F, знайдемо власний вектор ${\displaystyle v_{0}\in W}$ для z (що відповідає деякому його власному значенню). Тоді ${\displaystyle v_{0},}$ очевидно, є власним вектором для всієї алгебри L і ${\displaystyle \lambda }$ можна продовжити до лінійної функції на L з умовою ${\displaystyle xv_{0}=\lambda (x)v_{0},x\in L.}$

Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді існує така послідовність ідеалів L, ${\displaystyle 0=L_{0}\subset L_{1}\subset ...\subset L_{n}=L,}$ що ${\displaystyle \operatorname {dim} L_{i}=i.}$

Нехай L — довільна розв'язна алгебра Лі, ${\displaystyle \rho :L\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ — її скінченновимірне представлення. Тоді алгебра ${\displaystyle \rho (L)}$ теж є розв'язною і тому зберігає деякий прапор. Зокрема якщо розглядати приєднане представлення, то прапор підпросторів, інваріантних щодо L, це ланцюжок ідеалів в L, кожен з яких має корозмірність один в наступному.

Нехай алгебра L є розв'язною. Тоді з того, що ${\displaystyle x\in [L,L]}$ випливає, що відображення ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ є нільпотентним. Як наслідок, підалгебра [L, L] є нільпотентною.

Виберемо прапор ідеалів, як в попередньому наслідку. В базисі ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ алгебри L, в якому елементи ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{i})}$ породжують ${\displaystyle L_{i}}$ матриці з ${\displaystyle \operatorname {ad} _{L}}$ є верхніми трикутними. Тому матриці з ${\displaystyle [\operatorname {ad} _{L},\operatorname {ad} _{L}]=\operatorname {ad} _{[L,L]}}$ є є верхніми трикутними із нульовими діагональними елементами. Тобто ендоморфізм ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ є нільпотентним ендоморфізмом простору L при ${\displaystyle x\in [L,L].}$ Звідси він також є нільпотентним на інваріантному підпросторі [L, L], тож алгебра [L, L] є нільпотентною згідно теореми Енгеля.

• Верхня трикутна матриця
• Розв'язна алгебра Лі
• Теорема Енгеля

• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Kirillov, A. (2008). An Introduction to Lie Groups and Lie Algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113. Cambridge University Press. ISBN 978-0521889698.
• Winter, David J. (1972). Abstract Lie algebras. The M.I.T. Press, Cambridge, Mass.-London. ISBN 978-0-486-46282-0. MR 0332905.