Теорема про розподіл простих чисел

Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишева, що визначається як

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\log p\qquad \qquad (*)}$

іншими словами, псі-функція Чебишева це сума функції фон Мангольдта:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\,k\geqslant 1,\quad p\,{\text{is a prime}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що

${\displaystyle \psi (x)\sim x\quad x\to \infty .}$

Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка ${\displaystyle [1,n]}$, а внесок квадратів, кубів, і т. д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми ${\displaystyle \ln p}$ приблизно рівні ${\displaystyle \ln x}$, і функція ${\displaystyle \psi (x)}$ асимптотично рівна ${\displaystyle \pi (x)\cdot \ln x}$.

Як випливає з тотожності Ейлера

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1}}-p^{-s}}$

ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:

${\displaystyle \sum _{n}\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.}$

Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції ${\displaystyle a^{s}/s}$ рівний ${\displaystyle 2\pi i}$ при ${\displaystyle a>1}$ і 0 при ${\displaystyle 0<a<1}$. Тому, множення правої і лівої частини на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s}$ і інтегрування по вертикальній прямій по ${\displaystyle ds}$ залишає в лівій частині суму ${\displaystyle \Lambda (n)}$ з ${\displaystyle n\leqslant x}$. З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю функції дзети відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, з лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці ${\displaystyle s=1}$ — полюс першого порядку з лишком, рівним ${\displaystyle (-1)}$.

Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати[2] явну формулу Рімана[3]:

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho$ :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<Re(\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (**)}

де сума обчислюється по нулях ${\displaystyle \rho }$ дзета-функції, що лежать в смузі ${\displaystyle 0<Re(s)<1}$, доданок ${\displaystyle -\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}}$ відповідає полюсу ${\displaystyle x^{s}/s}$ у нулі, а доданок ${\displaystyle -\log(1-x^{-2})/2}$ — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції ${\displaystyle s=-2,-4,-6,\dots }$.

Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність ${\displaystyle \psi (x)\sim x\ }$ (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).

Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як

${\displaystyle \ln n=\sum _{p,k:\,p^{k}|n}\ln p}$

таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як

${\displaystyle \ln =\Lambda *\mathbf {1} ,}$

де ${\displaystyle \ln }$ і ${\displaystyle \mathbf {1} }$ — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.

Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести ${\displaystyle \mathbf {1} }$ у праву частину:

${\displaystyle \Lambda =\ln *\mu ,\qquad \qquad (**)}$

де ${\displaystyle \mu }$ — функція Мебіуса.

Сума лівої частини (**) — шукана функція ${\displaystyle \psi }$. У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми ${\displaystyle \sum _{k}L(n/k)\mu (k),}$ де ${\displaystyle L}$ — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати ${\displaystyle L(n)}$ як

${\displaystyle L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд ${\displaystyle \sum _{k}F(n/k)}$ для відповідним чином підібраної функції F (а саме ${\displaystyle F(x)=x-\gamma -1}$), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса

${\displaystyle \Lambda =F+\sum _{k}R(n/k)\mu (k).}$

Оскільки ${\displaystyle F(x)\sim x,}$ залишається перевірити, що другий доданок має вигляд ${\displaystyle o(x)}$. Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження ${\displaystyle M(x)=o(x),}$ де ${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)}$ — сума функції Мебіуса.

Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції ${\displaystyle 1/n}$.

Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку

${\displaystyle \mu '=-\mu *\Lambda ,}$

де ${\displaystyle f'(n)=f(n)\cdot \ln n}$ — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку

${\displaystyle \mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').}$

Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції ${\displaystyle \Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda }$ оцінюється краще, ніж асимптотика сум ${\displaystyle \Lambda }$, дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку ${\displaystyle M(x)=o(x)}$.