Згортка Діріхле
В математиці, згортка Діріхле — бінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.
Визначення
Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,
де сума береться по всіх дільниках d числа n.
Приклади
Приклад 1
Визначимо функцію наступним чином:
Визначимо тепер згортку Діріхле функції і деякої арифметичної функції
Приклад 2
Нехай функції і визначені наступним чином:
Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу :
Властивості
Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.
Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:
Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.
Обертання Діріхле
Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:
для n > 1,
Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ −1(n) = μ(n) — функція Мебіуса.
Ряди Діріхле
Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою
для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:
для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.
Література
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
- Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-84903-9.