Тотожність Ейлера
У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння
- де
- — це число Ейлера, основа натуральних логарифмів;
- — це уявна одиниця, комплексне число, квадрат якого дорівнює ;
- — це число пі, відношення довжини кола круга до його діаметра.
Тотожність Ейлера також називають «рівнянням Ейлера».
Значення тотожності
Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:
- число 0 і число 1 (Арифметика);
- число , уявну одиницю, комплексне число, що задовільняє (Алгебра);
- число (Геометрія);
- число , основа натуральних логарифмів (Аналіз).
Не дивно, що чимало хто знайшов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. («These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.»)
Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.
- За словами відомого суднобудівника та математика академіка Олексія Миколайовича Крилова, у цій тотожності загадковим чином поєдналися числа, що символізують арифметику (0 та 1), алгебру (i), аналіз (e) та геометрію (π).[1]
- Карл Фрідріх Ґаусс говорив, що якщо ця формула не є відразу очевидна для студента, то він ніколи не перетвориться на першокласного математика.[2]
- За опитуванням читачів журналу Physics World, що проходило у 2004 році, тотожність Ейлера (разом з рівняннями Максвелла) була названа «Найвеличнішим рівнянням історії»[3]
- За думкою Констанс Рід, ця тотожність є «найзнаменитішою формулою всієї математики».[4]
Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського університету, сказав, «Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною.»[5]
Доведення
Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:
для будь-якого дійсного числа . Зокрема, якщо
- то
Оскільки
- та отримуємо
що і доводить тотожність
Загальнішим чином, можна довести, що
Тотожність Ейлера відповідає
Примітки
- Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Глав. Ред. М. Д. Аксёнова. —М.: Аванта+, 2000. -688 с.: ил., стр. 212
- Derbyshire p.210.
- Crease, 2004.
- Reid, From Zero to Infinity.
- Maor p.160 and Kasner & Newman p.103–104.
Посилання
- Crease, Robert P., «The greatest equations ever», PhysicsWeb, October 2004.
- Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
- Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
- Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
- Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).