Теорія множин Цермело

AXIOM I. Аксіома об’ємності (екстенсіональності). Дві множини збігаються (рівні між собою) тоді й лише тоді, коли вони мають одні й ті самі елементи:

${\displaystyle ~\forall x\;\forall y\;(x=y)\iff \forall z\;(z\in x\iff z\in y)}$

Замість поданого твердження інколи записують, що елементи вважають однаковими, якщо вони належать до одних і тих самих множин. Інакше кажучи, їх неможливо розрізнити за допомогою належності до множин:

${\displaystyle ~\forall x\;\forall y\;(x=y)\iff \forall z\;(x\in z\iff y\in z)}$

AXIOM II. Аксіома пари: Із двох довільних [однакових чи різних] множин можна утворити [щонайменше одну] невпорядковану пару, тобто таку множину ${\displaystyle ~c}$, кожний елемент якої ${\displaystyle ~b}$ ідентичний даній множині ${\displaystyle ~a_{1}}$ або даній множині ${\displaystyle ~a_{2}}$»

${\displaystyle ~\forall a_{1}\;\forall a_{2}\;\exists c\;\forall b\;(b\in c\;\iff \ b=a_{1}\;\lor \;b=a_{2})}$

AXIOM III. Аксіомна схема виділення. Для довільної множини ${\displaystyle x}$ і властивості (предиката, висловлювання системи ${\displaystyle Z}$) ${\displaystyle P}$ існує множина ${\displaystyle y}$, елементами якої є ті й лише ті елементи множини ${\displaystyle y}$, які мають властивість ${\displaystyle P}$ (при яких справджується Р):

${\displaystyle ~\forall x\;\forall P\;\exists y\;\forall z\;(z\in y)\iff (z\in x\land P(z))}$.

Тут ${\displaystyle y}$ не входить у запис ${\displaystyle P}$.

AXIOM IV. Аксіома булеана. Для довільної множини ${\displaystyle x}$ існує множина ${\displaystyle y}$, елементами якої є ті й лише ті елементи, що є підмножинами ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle ~\forall x\;\exists y\;\forall z\;(z\in y)\iff (\forall t\;(t\in z)\Longrightarrow (t\in x))}$.

З використанням відношення підмножини ${\displaystyle \subseteq }$ останню формулу можна спростити:

${\displaystyle ~\forall x\;\exists y\;\forall z\;(z\in y)\iff (z\subseteq x))}$.

Таку множину ${\displaystyle y}$ називають булеаном множини ${\displaystyle x}$ та позначають ${\displaystyle P(x)}$ або ${\displaystyle 2^{x}}$.

Для скінченних множин справджується рівність ${\displaystyle |2^{x}|=2^{|x|}}$. Тут ${\displaystyle |x|}$ — кількість елементів множини ${\displaystyle x}$.

AXIOM V. Аксіома об’єднання. Аксіому об’єднання можна сформулювати наступним чином: "З будь-якого сімейства ${\displaystyle ~a}$ множин ${\displaystyle ~b}$ можна утворити як мінімум одну таку множину ${\displaystyle ~d}$, кожен елемент ${\displaystyle ~c}$ якої належить хоча б одній множині ${\displaystyle ~b}$ даного сімейства ${\displaystyle ~a}$" :

${\displaystyle ~\forall a\;\exists d\;\forall c\;(c\in d\iff \exists b\;(b\in a\;\land \ c\in b)\;)}$

AXIOM VI. Аксіома вибору. Для довільної множини ${\displaystyle z}$ існує функція ${\displaystyle w}$, що вибирає з кожного непорожнього елемента ${\displaystyle x}$ множини ${\displaystyle z}$ єдиний елемент ${\displaystyle w*x}$:

${\displaystyle ~\forall z\;\exists w\;(Fnc(w)\land \forall x\;(x\in z\land \lnot x\;=\varnothing \Longrightarrow w*x\in x))}$.

AXIOM VII. Аксіома нескінченності. Існує така множина ${\displaystyle x}$, що містить порожню множину ${\displaystyle \varnothing }$ та для довільного належного до неї елемента y включає також і множину, утворену об’єднанням ${\displaystyle y}$ та${\displaystyle {y}}$:

${\displaystyle ~\exists x\;(\varnothing \in x)\land (\forall y\;(y\in x)\Longrightarrow \;(y\cup {y}\in x))}$.

За допомогою раніше означеного предикату ${\displaystyle Inf}$ цю аксіому можна записати так:

${\displaystyle ~\exists x\;Inf(x)}$

Основним задумом Цермело було те, щоб обмежити сферу застосування аксіоматики в системі Z лише такими множинами, розгляд яких не призводить до парадоксів. Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об’єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини. Отже система аксіом Цермело видозмінювалась і розширювалась з 1907 року по 1930 рік. Доповненням до системи стали такі аксіоми як Аксіома регулярності і Аксіома підстановки Френкеля.