Теорема Цермело

Теорема Цермело — теорема теорії множин, яка стверджує, що на будь-якій множині можна ввести таке відношення порядку, що множина буде цілком упорядкованою.

Одна з найважливіших теорем у теорії множин. Названа на честь німецького математика Ернста Цермело. Теорема Цермело еквівалентна аксіомі вибору, а отже, і лемі Цорна.

Історія

Георг Кантор вважав, що твердження цієї теореми є «фундаментальним принципом думки».[1] Дійсно, будь-яку зліченну множину можна тривіально цілком упорядкувати, наприклад, перенісши порядок із множини натуральних чисел. Однак більшості математиків складно уявити повний порядок вже, наприклад, множини дійсних чисел. 1904 року Дьюла Кьоніг повідомив, що довів, що такого впорядкування не може існувати. Через кілька тижнів Фелікс Гаусдорф виявив помилку в доведенні.[2] Однак незабаром Ернст Цермело опублікував свою найвідомішу роботу,[3] в якій довів, що будь-яку множину можна цілком упорядкувати. Його доведення спиралося на вперше сформульовану в цій самій роботі аксіому вибору. Викликана цим фактом дискусія спонукала Цермело згодом упритул зайнятися аксіоматизацією теорії множин, що привело до створення аксіоматики Цермело — Френкеля.

Доведення

Доведення див. у статті Твердження, еквівалентні аксіомі вибору.

Див. також

Примітки
  1. Georg Cantor (1883), «Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten», Mathematische Annalen 21, стр. 545—591.
  2. Plotkin, J. M. (2005). Introduction to "The Concept of Power in Set Theory". Hausdorff on Ordered Sets. History of Mathematics 25. American Mathematical Society. с. 23–30. ISBN 9780821890516.
  3. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen, 1904.

Література
  • Верещагин Н. Шень А. Начала теории множеств. — 4-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 112 с. — ISBN 978-5-4439-0012-4.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.