Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя

Аксіома Рівності: ${\displaystyle \forall X\;\forall Y\;(X=Y\;\Leftrightarrow \;\forall z\;(z\in X\;\Leftrightarrow \;z\in Y))}$

Аксіома рівності постулює, що два класи є рівними тоді і лише тоді, коли вони мають одні і ті ж елементи.

Клас ${\displaystyle X}$ називається підкласом класу ${\displaystyle Y}$, якщо кожен елемент класу ${\displaystyle X}$ є елементом класу ${\displaystyle Y}$. У цьому випадку пишемо ${\displaystyle X\subseteq Y}$. Тобто, ${\displaystyle X\subseteq Y\;\Leftrightarrow \;\forall z\;(z\in X\;\Rightarrow \;z\in Y)}$. Аксіома рівності стверджує, що ${\displaystyle X=Y\;\Leftrightarrow \;(X\subseteq Y\;\wedge \;Y\subseteq X}$).

Підклас ${\displaystyle X}$ класу ${\displaystyle Y}$ називаємо підмножиною класу ${\displaystyle Y}$, якщо ${\displaystyle X}$ є множиною.

Аксіома Пари: ${\displaystyle \forall x\;\forall y\;\exists z\;\forall u\;(u\in z\;\Leftrightarrow \;(u=x\;\vee \;u=y))}$

Аксіома пари постулює, що для довільних множин ${\displaystyle x,y}$ існує множина ${\displaystyle z}$, єдиними елементами якої є множини ${\displaystyle x,y}$. Така множина ${\displaystyle z}$ називається невпорядкованою парою множин ${\displaystyle x,y}$ і позначається символом ${\displaystyle \{x,y\}}$. З аксіоми рівності випливає рівність ${\displaystyle \{x,y\}=\{y,x\}}$. Невпорядкована пара ${\displaystyle \{x,x\}}$ позначається символом ${\displaystyle \{x\}}$ і називається синґлетоном.

Впорядкованою парою ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ множин ${\displaystyle x,y}$ називається множина ${\displaystyle \{\{x\},\{x,y\}\}}$.

З аксіоми рівності випливає

Теорема. ${\displaystyle \forall x\;\forall y\;\forall a\;\forall b\;\;(\langle x,y\rangle =\langle a,b\rangle \;\Leftrightarrow \;(x=a\;\wedge \;y=b))}$.

Ця теорема стверджує, що впорядковані пари ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ і ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ рівні тоді і лише тоді, коли ${\displaystyle x=a}$ і ${\displaystyle y=b}$.

Впорядкованою трійкою множин ${\displaystyle x,y,z}$ називається множина ${\displaystyle \langle \langle x,y\rangle ,z\rangle }$.

Впорядковані ${\displaystyle n}$-ки ${\displaystyle \langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$ множин ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ означуються рекурсивною формулою: ${\displaystyle \langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\langle \langle x_{1},\dots ,x_{n-1}\rangle ,x_{n}\rangle }$ для ${\displaystyle n\geq 3}$.

Наступні 5 аксіом називають аксіомами існування класів.

Аксіома Належності: ${\displaystyle \exists \mathbf {E} \;\forall x\;\forall y\;(\langle x,y\rangle \in \mathbf {E} \;\Leftrightarrow \;x\in y)}$

Аксіома належності постулює існування класу ${\displaystyle \mathbf {E} =\{\langle x,y\rangle :x\in y\}}$.

Аксіома Інверсії: ${\displaystyle \forall X\;\exists Y\;\forall u\;\forall v\;\;(\langle u,v\rangle \in X\;\Leftrightarrow \;\langle v,u\rangle \in Y)}$

Аксіома інверсії стверджує, що для кожного класу ${\displaystyle X}$ існує клас ${\displaystyle X^{-1}=\{\langle x,y\rangle$ :\langle y,x\rangle \in X\}} .

Клас ${\displaystyle X}$ називається відношенням, якщо ${\displaystyle X=(X^{-1})^{-1}}$.

Клас є відношенням тоді і лише тоді, коли його елементами є впорядковані пари, тобто ${\displaystyle \forall y\;(y\in X\;\Rightarrow \;\exists u\exists v\;(y=\langle u,v\rangle ))}$.

Аксіома Проекції: ${\displaystyle \forall F\;\exists D\;\forall x\;(x\in D\;\Leftrightarrow \;(\exists y\;\langle x,y\rangle \in F))}$

Згідно з аксіомами проекції та інверсії, для кожного класу ${\displaystyle F}$ існують класи ${\displaystyle {\mathsf {dom}}(F)=\{x:\exists y\;\langle x,y\rangle \in F\}}$ та ${\displaystyle {\mathsf {rng}}(F)={\mathsf {dom}}(F^{-1})}$. Якщо клас ${\displaystyle F}$ є відношенням (наприклад, функцією), то класи ${\displaystyle {\mathsf {dom}}(F)}$ та ${\displaystyle {\mathsf {rng}}(F)}$ називають областю визначення та областю значень відношення ${\displaystyle F}$.

З аксіом належності та проекції випливає, що клас усіх множин ${\displaystyle \mathbf {V} =\{x:\exists y\;(x\in y)\}}$ існує, оскільки він збігається з областю визначення відношення належності ${\displaystyle \mathbf {E} }$.

Аксіома Різниці: ${\displaystyle \forall X\;\forall Y\;\exists Z\;\forall u\;(u\in Z\;\Leftrightarrow \;(u\in X\;\wedge \;u\notin Y))}$

Аксіома різниці стверджує, що для довільних класів ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ існує клас ${\displaystyle X\setminus Y=\{x:x\in X\;\wedge \;x\notin Y\}}$.

З аксіоми різниці випливає існування порожнього класу ${\displaystyle \emptyset =\mathbf {V} \setminus \mathbf {V} }$, що не містить жодних елементів. За аксіомою рівності, порожній клас єдиний.

Аксіома різниці також дозволяє нам визначити перетин ${\displaystyle X\cap Y}$ класів ${\displaystyle X,Y}$ як клас ${\displaystyle X\setminus (X\setminus Y)}$. За аксіомою рівності, ${\displaystyle X\cap Y=\{x:x\in X\;\wedge \;x\in Y\}}$.

Об'єднанням ${\displaystyle X\cup Y}$ двох класів ${\displaystyle X,Y}$ називають клас ${\displaystyle \{x:x\in X\;\vee \;y\in Y\}}$, який рівний класу ${\displaystyle \mathbf {V} \setminus ((\mathbf {V} \setminus X)\cap (\mathbf {V} \setminus Y))}$, що існує за аксіомою різниці.

Аксіома Добутку: ${\displaystyle \forall X\;\forall Y\;\exists Z\;\forall u\;\forall v\;(\langle u,v\rangle \in Z\;\Leftrightarrow \;(u\in X\;\wedge \;v\in Y))}$

Аксіома добутку постулює, що для довільних класів ${\displaystyle X,Y}$ існує їх декартів добуток ${\displaystyle X\times Y=\{\langle x,y\rangle :x\in X,\;y\in Y\}}$.

Для відношення ${\displaystyle F}$ та класу ${\displaystyle X}$ клас ${\displaystyle F[X]=\{y:\exists x\in X\;\langle x,y\rangle \in F\}}$ називають образом класу ${\displaystyle X}$ при відношенні ${\displaystyle F}$. Клас ${\displaystyle F[X]}$ існує, оскільки він рівний класу ${\displaystyle {\mathsf {rng}}[F\cap (X\times V)]}$. Клас ${\displaystyle F^{-1}[X]}$ називають прообразом класу ${\displaystyle X}$ при відношенні ${\displaystyle F}$.

Відношення ${\displaystyle F}$ називається функцією (або відображенням), якщо для довільних пар ${\displaystyle \langle x,y\rangle ,\langle a,b\rangle \in F}$ із рівності ${\displaystyle x=a}$ випливає рівність ${\displaystyle y=b}$. Із цього означення випливає, що для довільної функції ${\displaystyle F}$ та елемента ${\displaystyle x\in {\mathsf {dom}}[F]}$ існує єдиний елемент ${\displaystyle y\in {\mathsf {rng}}[F]}$ такий, що ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in F}$. Цей єдиний елемент ${\displaystyle y}$ позначається через ${\displaystyle F(x)}$. При цьому круглі дужки використовуються, що відрізнити елемент ${\displaystyle F(x)}$ від класу ${\displaystyle F[x]={\mathsf {rng}}[F\cap (x\times \mathbf {V} )]=\{F(y):y\in x\}}$. Для функції ${\displaystyle F}$ запис ${\displaystyle F:X\to Y}$ означає, що ${\displaystyle {\mathsf {dom}}[F]=X}$ і ${\displaystyle {\mathsf {rng}}[F]\subseteq Y}$. У цьому випадку функція ${\displaystyle F}$ ставить у відповідність кожному елементу ${\displaystyle x\in X}$ певний елемент ${\displaystyle F(x)}$ класу ${\displaystyle Y}$.

Функція ${\displaystyle F}$ називається ін'єктивною, якщо відношення ${\displaystyle F^{-1}}$ теж є функцією.

Хоча властиві класи не можуть бути елементами інших класів, ми можемо говорити про індексовані класи класів. А саме, для довільного класу ${\displaystyle A}$ кожен підклас ${\displaystyle X\subseteq A\times \mathbf {V} }$ можна ототожнювати з індексованою сім'єю класів ${\displaystyle (X(\alpha ))_{\alpha \in A}}$, де ${\displaystyle X(\alpha )=\{x:\langle \alpha ,x\rangle \in X\}}$ для ${\displaystyle \alpha \in A}$. У цьому випадку парадокс Рассела доводить, що для класу ${\displaystyle B=\{\alpha \in A:\langle \alpha ,\alpha \rangle \notin X\}}$ не існує елемента ${\displaystyle \alpha \in A}$ з ${\displaystyle B=X_{\alpha }}$.

Аксіома Циклу:  ${\displaystyle \forall X\;\exists Y\;\forall u\;\forall v\;\forall w\;\;(\langle u,v,w\rangle \in X\;\Leftrightarrow \;\langle w,u,v\rangle \in Y)}$

Аксіома циклу постулює, що для довільного класу ${\displaystyle X}$ існує клас ${\displaystyle \{\langle w,u,v\rangle$ :\langle u,v,w\rangle \in X\}} , який далі позначатиметься через ${\displaystyle X^{\circlearrowright }}$ або ${\displaystyle [X]^{\circlearrowright }}$.

Аксіома циклу, разом з іншими аксіомами існування класів, дозволяє означити об'єднання та перетин множин, що належать даному класу.

Для довільного класу ${\displaystyle X}$ клас ${\displaystyle \cup X=\{z:\exists y\;(z\in y\;\wedge \;y\in X)\}}$ називають об'єднанням класу ${\displaystyle X}$.

Клас ${\displaystyle \cup X}$ існує, оскільки він рівний класу ${\displaystyle {\mathsf {dom}}[{\mathsf {dom}}[(\mathbf {E} \times X)\cap [\mathbf {E} \times \mathbf {V} ]^{\circlearrowright }]]}$.

Для довільного класу ${\displaystyle X}$ клас ${\displaystyle \cap X=\{z:\forall y\;(y\in X\;\Rightarrow \;z\in y)\}}$ називають перетином ${\displaystyle X}$.

Клас ${\displaystyle \cap X}$ існує, оскільки він рівний класу ${\displaystyle \mathbf {V} \setminus {\mathsf {dom}}[{\mathsf {dom}}[((\mathbf {V} ^{2}\setminus \mathbf {E} )\times X)\cap [\mathbf {E} \times \mathbf {V} ]^{\circlearrowright }]]}$.

Із означень випливає, що ${\displaystyle \cup \emptyset =\emptyset }$ і ${\displaystyle \cap \emptyset =\mathbf {V} .}$

Для довільного класу ${\displaystyle X}$ клас ${\displaystyle 2^{X}=\{y:y\subseteq X\}}$ називають експонентою класу ${\displaystyle X}$.

Клас ${\displaystyle 2^{X}}$ існує, оскільки він рівний класу ${\displaystyle \mathbf {V} \setminus {\mathsf {dom}}[{\mathsf {dom}}[(\mathbf {E} ^{-1}\times X)\cap [(\mathbf {V} ^{2}\setminus \mathbf {E} )\times \mathbf {V} ]^{\circlearrowright }]]]}$. Зокрема, ${\displaystyle 2^{\mathbf {V} }=\mathbf {V} }$.

Аксіома Регулярності:  ${\displaystyle \forall x\;(\exists y\;(y\in x))\;\Rightarrow \;\exists y\;(y\in x\;\wedge \;\forall z\;(z\in y\;\Rightarrow \;z\notin x))}$.

Аксіома регулярності стверджує, що довільна множина ${\displaystyle x}$ містить елемент ${\displaystyle y\in x}$, який не має з множиною ${\displaystyle x}$ спільних елементів. Аксіома регулярності забороняє існування нескінченних спадних ланцюгів виду ${\displaystyle x_{1}\ni x_{2}\ni x_{3}\dots }$. Аксіома регулярності часто використовується в індуктивних конструкціях.

Використовуючи аксіому регулярності та аксіоми існування класів, Гедель довів (індукцією по складності формули ${\displaystyle \phi }$) наступну важливу теорему, обмежена форма якої приймається за аксіому вирізання^{[прояснити]} в аксіоматиці Цермело — Френкеля.

Теорема Геделя про існування класів: Нехай ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ є формулою, у якій квантори пробігають лише по множинах, а вільні змінні містяться серед змінних ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$. Тоді для довільних класів ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ клас ${\displaystyle \{\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle$ :\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}}
  
існує.

Доступне доведення цієї теореми можна знайти в англійській версії статті про аксіоматику NBG, або в монографії Мендельсона.[1]

Наступні 4 аксіоми називають аксіомами існування множин.

Аксіома Заміни: Для довільної функції ${\displaystyle F}$ та множини ${\displaystyle x}$, образ ${\displaystyle F[x]=\{y:\exists z\;(z\in x\;\wedge \;\langle z,y\rangle \in F)\}}$ є множиною.

Аксіома Об'єднання: Для довільної множини ${\displaystyle x}$ її об'єднання ${\displaystyle \cup x}$ є множиною.

Аксіома Експоненти: Для довільної множини ${\displaystyle x}$ її експонента ${\displaystyle 2^{x}}$ є множиною.

З аксіоми заміни (застосованої до тотожнього відображення класу в себе) випливає, що перетин множини та класу є множиною; тому для довільної множини усі її підкласи є множинами.

Проте з усіх наведених вище аксіом ще не випливає, що хоча б одна множина існує. Існування множин (навіть нескінченних) забезпечує

Аксіома Нескінченності: ${\displaystyle \exists x\;(\emptyset \in x\;\wedge \;\forall n\;(n\in x\;\Rightarrow \;n\cup \{n\}\in x))}$

Аксіома нескінченності постулює існування індуктивної множини. Клас ${\displaystyle x}$ називається індуктивним, якщо порожній клас є його елементом, і для кожного елемента ${\displaystyle n\in I}$ множина ${\displaystyle n\cup \{n\}}$ є елементом ${\displaystyle I}$. З теореми Геделя про існування класів випливає, що клас ${\displaystyle I}$ усіх індуктивних множин існує, а аксіома нескінченності постулює, що цей клас є непорожнім. Перетин ${\displaystyle \cap {\mathcal {I}}}$ усіх індуктивних множин позначають через ${\displaystyle \omega }$ і називають множиною натуральних чисел. Елементи множини ${\displaystyle \omega }$ називають натуральними числами, або скінченними ординалами.

Систему аксіом NBG часто доповнюють однією з аксіом вибору:

Аксіома Глобального Вибору: Існує функція ${\displaystyle \mathbf {F} }$, що ставить у відповідність кожній непорожній множині ${\displaystyle x}$ деякий елемент ${\displaystyle \mathbf {F} (x)\in x}$.

З аксіоми глобального вибору випливає звичайна аксіома вибору, яка є однією з аксіом ZFC.

Аксіома Вибору: Для кожної множини ${\displaystyle a}$ існує функція ${\displaystyle f}$, що ставить у відповідність кожній непорожній множині ${\displaystyle x\in a}$ деякий елемент ${\displaystyle f(x)\in x}$.

З іншого боку, аксіома глобального вибору випливає з аксіоми конструктивності ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {L} }$, для формулювання якої необхідно означити клас ${\displaystyle \mathbf {L} }$ конструктивних множин. У свою чергу, клас ${\displaystyle \mathbf {L} }$ означується за допомогою класу ординалів ${\displaystyle \mathbf {On} }$.

Означення. Клас X називають

• транзитивним, якщо ${\displaystyle \cup X\subseteq X}$;
• лінійно ${\displaystyle \in }$-впорядкованим, якщо для довільних множин ${\displaystyle x,y\in X}$ справедлива трихотомія ${\displaystyle (x\in y)\;\vee \;(x=y)\;\vee \;(y\in x)}$;
• ординальним, якщо ${\displaystyle X}$ є транзитивним і лінійно ${\displaystyle \in }$-впорядкованим;
• ординалом, якщо ${\displaystyle X}$ є ординальною множиною.

Із теореми Геделя про існування класів випливає, що клас ${\displaystyle \mathbf {On} }$ ординалів існує. Клас ординалів ${\displaystyle \mathbf {On} }$ можна охарактеризувати як єдиний ординальний властивий клас.

Означення. Клас ${\displaystyle \mathbf {X} }$ називається внутрішньою моделлю, якщо ${\displaystyle \mathbf {X} }$ транзитивний, містить усі ординали, і для довільних множин ${\displaystyle x,y\in \mathbf {X} }$ множини ${\displaystyle \{x,y\},\;x\times y,\;x\setminus y,\;\mathbf {E} \cap (x\times y),\;x^{-1},\;{\mathsf {dom}}[x],\;\cup x,\;x^{\circlearrowright }}$ є елементами класу ${\displaystyle \mathbf {X} }$.

Найменша внутрішня модель називається класом конструктивних множин і позначається через ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Клас ${\displaystyle \mathbf {L} }$ рівний об'єднанню ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \mathbf {On} }L_{\alpha }}$ множин ${\displaystyle L_{\alpha }}$, що означаються рекурсивною формулою ${\displaystyle L_{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }L_{\beta }\cup \{\alpha \}\cup \{\{x,y\},\;x\times y,\;x\setminus y,\;\mathbf {E} \cap (x\times y),\;x^{-1},\;{\mathsf {dom}}[x],\;\cup x,\;x^{\circlearrowright }:x\in L_{\beta }\}}$ для ${\displaystyle \alpha \in \mathbf {On} }$. Існування класу конструктивних множин забезпечує теорема рекурсії, про яку мова нижче.

Аксіома Конструктивності: ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {L} }$.

Аксіома конструктивності є дуже сильною аксіомою, з якої випливає aксіома глобального вибору, а також

Узагальнена Гіпотеза Континуума: Для кожної нескінченної множини ${\displaystyle x}$ та підмножини ${\displaystyle y\subseteq 2^{x}}$ існує ін'єктивна функція ${\displaystyle f}$ така, що ${\displaystyle f[y]\subseteq x}$ або ${\displaystyle f[2^{x}]\subseteq y}$.

Згідно з теоремою Серпіньского (1947), із узагальненої гіпотези континуума випливає аксіома вибору.

Таким чином, аксіоматика NBG включає 14 аксіом, яких вистачає для розбудови усієї теорії множин та класів:

1. Аксіома Рівності: Два класи рівні тоді і лише тоді, коли вони складаються з однакових елементів.
2. Аксіома Пари: Для довільних множин ${\displaystyle x,y}$ існує невпорядкована пара ${\displaystyle \{x,y\}}$.
3. Аксіома Належності: Клас ${\displaystyle \mathbf {E} =\{(x,y):x\in y\}}$ існує.
4. Аксіома Інверсії: Для довільного класу ${\displaystyle X}$, клас ${\displaystyle X^{-1}=\{\langle y,x\rangle$ :\langle x,y\rangle \in X\}} існує.
5. Аксіома Проекції: Для довільного класу ${\displaystyle X}$, клас ${\displaystyle {\mathsf {dom}}[X]=\{x:\exists y\;\langle x,y\rangle \in X\}}$ існує.
6. Аксіома Добутку: Для довільних класів ${\displaystyle X,Y}$, клас ${\displaystyle X\times Y=\{\langle x,y\rangle :x\in X,\;y\in Y\}}$ існує.
7. Аксіома Різниці: Для довільних класів ${\displaystyle X,Y}$, клас ${\displaystyle X\setminus Y}$ існує.
8. Аксіома Циклу: Для довільного класу ${\displaystyle X}$ клас ${\displaystyle X^{\circlearrowright }=\{\langle z,x,y\rangle$ :\langle x,y,z\rangle \in X\}} існує.
9. Аксіома Регулярності: Довільна непорожня множина ${\displaystyle x}$ містить такий елемент ${\displaystyle y\in x}$, що ${\displaystyle y\cap x=\emptyset }$.
10. Аксіома Заміни: Для довільної функції ${\displaystyle F}$ і довільної множини ${\displaystyle x}$, клас ${\displaystyle F[x]=\{F(y):y\in x\}}$ є множиною.
11. Аксіома Суми: Для довільної множини ${\displaystyle x}$, клас ${\displaystyle \cup x=\{z:\exists y\;(z\in y\;\wedge \;y\in x)\}}$ є множиною.
12. Аксіома Експоненти: Для довільної множини ${\displaystyle x}$, її експонента ${\displaystyle 2^{x}=\{y:y\subseteq x\}}$ є множиною.
13. Аксіома Нескінченності: Існує множина натуральних чисел ${\displaystyle \omega }$.
14. Аксіома Глобального Вибору: Існує функція ${\displaystyle \mathbf {F} }$, що ставить у відповідність кожній непорожній множині ${\displaystyle x}$ деякий елемент ${\displaystyle \mathbf {F} (x)\in x}$.

Теорія множин Цермело — Френкеля ZFC є частиною теорії NBG і описує властивості множин, уникаючи вживання класів. Для цього низку аксіом NBG доводиться заміняти нескінченними схемами аксіом (а саме виділення та перенесення). Для порівняння з аксіомами NB наведемо список аксіом ZFC.

1. Аксіома рівності: ${\displaystyle \forall x\;\forall y\;(x=y\;\Leftrightarrow \;\forall z\;(z\in x\;\Leftrightarrow \;z\in y))}$.
2. Аксіома пари: ${\displaystyle \forall x\;\forall y\;\exists z\;\forall u\;(u\in z\;\Leftrightarrow \;(u=x\;\vee \;u=y))}$.
3. Аксіома суми: ${\displaystyle \forall x\;\exists u\;\forall z\;(z\in u\;\Leftrightarrow \;\exists y\;(z\in y\;\wedge \;y\in x))}$.
4. Аксіома експоненти: ${\displaystyle \forall x\;\exists y\;\forall z\;(z\in y\;\Leftrightarrow \;z\subseteq x)}$.
5. Аксіома Регулярності: ${\displaystyle \forall x\;(\exists y\;(y\in x))\;\Rightarrow \;\exists y\;(y\in x\;\wedge \;\forall z\;(z\in y\;\Rightarrow \;z\notin x))}$.
6. Аксіома Нескінченності: ${\displaystyle \exists x\;(\emptyset \in x\;\wedge \;\forall n\;(n\in x\;\Rightarrow \;n\cup \{n\}\in x))}$.
7. Схема Аксіом Вирізання: Нехай ${\displaystyle \phi (x,a,c_{1},\dots ,c_{n})}$ — формула в мові ZFC, усі вільні змінні якої містяться серед змінних ${\displaystyle x,a,c_{1},\dots ,c_{n}}$, а змінна ${\displaystyle b}$ не вільна для формули ${\displaystyle \phi }$. Тоді ${\displaystyle \forall a\;\forall c_{1}\;\dots \forall c_{n}\;\exists b\;\forall x\;(x\in b\;\Leftrightarrow \;(x\in a\;\wedge \;\phi (x,a,c_{1},\dots ,c_{n})))}$.
8. Схема Аксіом Заміни: Нехай ${\displaystyle \phi (x,y,a,c_{1},\dots ,c_{n})}$ — формула в мові ZFC, усі вільні змінні якої містяться серед змінних ${\displaystyle x,y,a,c_{1},\dots ,c_{n}}$, а змінна ${\displaystyle b}$ не є вільною для формули ${\displaystyle \phi }$. Тоді ${\displaystyle \forall a\;\forall c_{1}\dots \forall c_{n}\;(\forall x\;(x\in a\;\Rightarrow \;\exists !y\;\phi (x,y,a,c_{1},\dots ,c_{n})))\;\Rightarrow \;\exists b\;\forall y\;(y\in b\;\Leftrightarrow \;\exists x\;(x\in a\;\wedge \;\phi (x,y,a,c_{1},\dots ,c_{n})))}$.
9. Аксіома Вибору: Для кожної множини ${\displaystyle a}$ існує функція ${\displaystyle f}$, що ставить у відповідність кожній непорожній множині ${\displaystyle x\in a}$ деякий елемент ${\displaystyle f(x)\in x}$.

Теорії ZFC та NBG допускають моделі одна в іншій. Моделями ZFC в NBG є клас ${\displaystyle \mathbf {V} }$ усіх множин чи клас ${\displaystyle \mathbf {L} }$ конструктивних множин. Моделлю NBG в ZFC є cім'я усіх класів, що виражаються формулами з параметрами у мові ZFC. Тому все що можна довести про множини у теорії ZFC доводиться також у теорії NBG і навпаки. Це означає, що теорія NBG є консервативним розширенням теорії ZFC.

Кантор визначав ординали як класи еквівалентності цілком впорядкованих множин. Усі ці класи еквівалентності (за винятком одного) є властивими класами. За такого підходу до ординалів неможливо говорити про множини чи класи ординалів. Щоб обійти цю проблему, фон Нойман запропонував означення ординала як транзитивної ${\displaystyle \in }$-лінійно впорядкованої множини і довів, що кожна цілком впорядкована множина є ізоморфною деякому ординалові. Цей важливий факт доводиться за теоремою рекурсії. Для формулювання цієї теореми нам необхідно спершу означити деякі стандартні поняття теорії порядку.

Нагадаємо, що відношенням називається клас, елементами якого є впорядковані пари.

Означення. Відношення L називають

• рефлексивним, якщо ${\displaystyle \{\langle x,x\rangle :x\in {\mathsf {dom}}[L\cup L^{-1}]\}\subseteq L}$;
• антисиметричним, якщо ${\displaystyle L\cap L^{-1}\subseteq \{\langle x,x\rangle :x\in {\mathsf {dom}}[L\cup L^{-1}]\}}$;
• транзитивним, якщо ${\displaystyle \{\langle x,z\rangle$ :\exists y\;(\langle x,y\rangle \in L\;\wedge \;\langle y,z\rangle \in L)\}\subseteq L} ;
• частковим порядком, якщо ${\displaystyle L}$ є рефлексивним, транзитивним, антисиметричним відношенням;
• лінійним порядком, якщо ${\displaystyle L}$ є частковим порядком з ${\displaystyle L\cup L^{-1}={\mathsf {dom}}[L]\times {\mathsf {rng}}[L]}$;
• ґрунтовним (англ., well-founded), якщо для кожної множини ${\displaystyle x}$ клас ${\displaystyle {\downarrow }x=\{y:\langle y,x\rangle \in L\}\setminus \{x\}}$ є множиною і кожна непорожня підмножина ${\displaystyle a\subseteq {\mathsf {dom}}[L\cup L^{-1}]}$ містить такий елемент ${\displaystyle x\in a}$, що ${\displaystyle a\cap {\downarrow }x=\emptyset }$. Такий елемент ${\displaystyle x}$ називають ${\displaystyle L}$-мінімальним елементом множини ${\displaystyle a}$.
• цілковитим порядком, якщо відношення є ґрунтовним лінійним порядком.

Зауважимо, що аксіома регулярності є еквівалентною ґрунтовності відношення належності ${\displaystyle \mathbf {E} }$.

Теорема Рекурсії. Якщо ${\displaystyle L}$ — ґрунтовний частковий порядок, тоді для довільної функції ${\displaystyle G:{\mathsf {dom}}[L]\times \mathbf {V} \to \mathbf {V} }$, існує єдина функція ${\displaystyle F:{\mathsf {dom}}[L]\to \mathbf {V} }$ така, що  ${\displaystyle F(x)=G(\langle x,F[{\downarrow }x]\rangle )}$ для кожного ${\displaystyle x\in {\mathsf {dom}}[L].}$ 

Для доведення теореми рекурсії розглядають клас ${\displaystyle {\mathsf {F}}}$, елементами якого є функції ${\displaystyle f}$, для яких існує такий елемент ${\displaystyle x\in L}$, що ${\displaystyle {\mathsf {dom}}[f]={\downarrow }x}$ і ${\displaystyle f(y)=G(\langle x,f[{\downarrow }y]\rangle )}$ для кожного ${\displaystyle y\in {\downarrow }x}$. Тоді об'єднання ${\displaystyle \cup {\mathsf {F}}}$ є шуканою функцією ${\displaystyle F}$. ${\displaystyle \quad \square }$

Означення. Відношення ${\displaystyle X,Y}$ називають ізоморфними, якщо існує ін'єктивна функція ${\displaystyle F}$, яка має такі властивості:

• ${\displaystyle \forall \langle x,x'\rangle \in X\;\exists \langle y,y'\rangle \in Y\;(\langle x,y\rangle \in F\;\wedge \;\langle x',y'\rangle \in F)}$;
• ${\displaystyle \forall \langle y,y'\rangle \in Y\;\exists \langle x,x'\rangle \in X\;(\langle x,y\rangle \in F\;\wedge \;\langle x',y'\rangle \in F)}$.

Із теореми рекурсії випливає такий фундаментальний факт.

Теорема про ізоморфізм. Кожен цілковитий порядок ${\displaystyle L}$ є ізоморфним єдиному ординальному класу. Цей ординальний клас є ординалом, якщо ${\displaystyle L}$ — множина, і рівним класу ${\displaystyle \mathbf {On} }$, якщо ${\displaystyle L}$ є властивим класом.

Щоб довести теорему про ізоморфізм, достатньо застосувати теорему рекурсії до функції ${\displaystyle \mathbf {G}$ :{\mathsf {dom}}[L]\times \mathbf {V} \to \mathbf {V} ,\;\mathbf {G} :\langle x,y\rangle \mapsto \min(\mathbf {On} \setminus y).}

Аксіоматика фон Ноймана — Бернайса — Геделя є результатом тривалої еволюції. У роботах 1925, 1928 та 1929 років Джон фон Нойман опублікував свою аксіоматичну систему, у якій первинними поняттями були функція та аргумент. Поль Бернайс у працях 1931, 1937, 1941 років дошліфував теорію фон Ноймана до належного блиску; він означив функції як класи бінарних відношень та вибрав первинними поняттями теорії поняття класу та множини, причому Бернайс використовував різні символи ${\displaystyle x\in y}$ і ${\displaystyle x\,\eta \,Y}$ для позначення множини ${\displaystyle x}$ до іншої множини ${\displaystyle y}$ чи до класу ${\displaystyle Y}$. Також він вважав, що множина ${\displaystyle x}$ зображає клас ${\displaystyle Y}$, якщо ${\displaystyle \forall x\;(x\in y\;\Leftrightarrow \;x\,\eta \,Y)}$. Аксіоматика Бернайса (яку він виклав у своєму листі Геделю у 1931) складалася з 20 аксіом, які включали 9 аксіом існування класів, зокрема аксіоми інверсії на асоціативності. Аксіома асоціативності Бернайса стверджує, що для кожного класу ${\displaystyle X}$ клас ${\displaystyle \{\langle \langle x,y\rangle ,z\rangle$ :\langle x,\langle y,z\rangle \rangle \in X\}} існує. Курт Гедель, після знайомства з теорією Бернайса, запропонував спростити понятійну систему теорії: звести поняття множини до поняття класу і використовувати єдине відношення належності для класів та множин. Він також замінив аксіоми інверсії та асоціативності Бернайса на аксіоми транспозиції та циклічної перестановки, які постулюють існування класів ${\displaystyle \{\langle x,z,y\rangle$ :\langle x,y,z\rangle \in X\}} та ${\displaystyle \{\langle y,z,x\rangle$ :\langle x,y,z\rangle \in X\}} для кожного класу ${\displaystyle X}$. Гедель використав таким чином модифіковану версію аксіоматики Бернайса у своєму знаменитому доведенні несуперечливості аксіоми вибору та гіпотези континуума, довівши, що вони є чинними в конструктивному універсумі ${\displaystyle \mathbf {L} }$. Більше того, він зауважив, що в конструктивному універсумі справджується аксіома глобального вибору, що дало змогу долучити її до списку аксіом NBG без небезпеки отримати суперечність. Абревіатуру NBG у математичний вжиток увів великий адепт цієї теорії Еліотт Мендельсон, про що він пише у своїй класичній книзі з Математичної Логіки,[1] де також згадує, що Paul Halmos, який віддавав перевагу аксіоматиці ZFC, жартома розшифровував NBG як сленгове «No Bloody Good». Про роль фон Ноймана, Бернайса та Геделя у створенні аксіоматики NBG можна почитати у статті Kanamori, 2009.

Аксіоматика NBG має дві суттєві переваги порівняно з іншими аксіоматичними системами теорії множин. По-перше, вона є скінченно аксіоматизовною, а по-друге, дозволяє оперувати з класами. Останнє є критично важливим для теоретико-множинного обґрунтування теорії категорій.

У теорії NBG такі важливі поняття як категорія, функтор, природне перетворення означуються цілком строго і стають типовими алгебраїчними структурами (в розумінні Бурбакі). В означенні категорії використовуються впорядковані п'ятірки класів, які слід розуміти як підкласи класу ${\displaystyle \mathbf {V} \times 5}$ (це цілком законний об'єкт у теорії NBG).

Означення категорії. Категорією називаємо п'ятірку ${\displaystyle (Mor,Ob,{\mathsf {d}},{\mathsf {r}},\circ )}$, де:
${\displaystyle Mor}$ — клас, елементи якого називаються морфізмами категорії;
${\displaystyle Ob}$ — підклас класу ${\displaystyle Mor}$, елементи якого називаються об'єктами категорії
 (таким чином ми ототожнюємо об'єкти з тотожніми морфізмами цих об'єктів);
${\displaystyle {\mathsf {d}},{\mathsf {r}}}$ — два класи, які є функціями з Mor в Ob; значення ${\displaystyle {\mathsf {d}}(f)}$ і ${\displaystyle {\mathsf {r}}(f)}$ на морфізмі ${\displaystyle f\in Mor}$ називають початком і кінцем морфізму ${\displaystyle f}$;
 для довільних об'єктів ${\displaystyle a,b\in Ob}$ підклас ${\displaystyle Mor(a,b)=\{f\in Mor:{\mathsf {d}}(f)=a,\;{\mathsf {r}}(f)=b\}}$ називається класом морфізмів з ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle b}$;
${\displaystyle \circ }$ — функція з областю визначення ${\displaystyle {\mathsf {dom}}[\circ ]={\big \{}\langle f,g\rangle \in Mor\times Mor:{\mathsf {d}}(f)={\mathsf {r}}(g)\}}$ і областю значень ${\displaystyle Mor}$, яка ставить у відповідність кожній парі морфізмів ${\displaystyle \langle f,g\rangle \in {\mathsf {dom}}[\circ ]}$ морфізм ${\displaystyle f\circ g}$, що  має ${\displaystyle {\mathsf {d}}(f\circ g)={\mathsf {d}}(g)}$ і ${\displaystyle {\mathsf {r}}(f\circ g)={\mathsf {r}}(f)}$; морфізм ${\displaystyle f\circ g}$ називається композицією морфізмів ${\displaystyle f,g}$. 
При цьому повинні задовольнятися такі аксіоми:
(Об'єктність): ${\displaystyle {\mathsf {r}}(a)=a={\mathsf {d}}(a)}$ для довільного об'єкта ${\displaystyle a\in Ob\subseteq Mor}$;
(Нейтральність): ${\displaystyle {\mathsf {r}}(f)\circ f=f=f\circ {\mathsf {d}}(f)}$ для довільного морфізма ${\displaystyle f\in Mor}$;
(Асоціативність): Для довільних морфізмів ${\displaystyle f,g,h\in Mor}$ з ${\displaystyle {\mathsf {r}}(f)={\mathsf {d}}(g)}$ i ${\displaystyle {\mathsf {r}}(g)={\mathsf {d}}(h)}$ справджується рівність ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$;  

Категорія ${\displaystyle (Mor,Ob,{\mathsf {d}},{\mathsf {r}},\circ )}$ називається 
${\displaystyle \bullet }$ локально малою категорією, якщо для довільних об'єктів ${\displaystyle a,b\in Ob}$, клас морфізмів ${\displaystyle Mor(a,b)=\{f\in Mor:{\mathsf {d}}(f)=a,\;{\mathsf {r}}(f)=b\}}$є множиною;
${\displaystyle \bullet }$ малою категорією, якщо її клас морфізмів ${\displaystyle Mor}$ є множиною. 

Поняття функтора між категоріями теж можна означити цілком строго.

Означення функтора. Функтором ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}'}$ між категоріями ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(Mor,Ob,{\mathsf {d}},{\mathsf {r}},\circ )}$ та ${\displaystyle {\mathcal {A}}'=(Mor',Ob',{\mathsf {d}}',{\mathsf {r}}',\circ ')}$ називаємо функцію ${\displaystyle F:Mor\to Mor'}$, яка зберігає структуру категорії у тому сенсі, що :
${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle {\mathsf {d}}'(F(f))=F({\mathsf {d}}(f))}$ і ${\displaystyle {\mathsf {r}}'(F(f))=F({\mathsf {r}}(f))}$ для довільного морфізма ${\displaystyle f\in Mor}$;
${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle F(f\circ g)=F(f)\circ 'F(g)}$ для довільних морфізмів ${\displaystyle f,g\in Mor}$ з ${\displaystyle {\mathsf {d}}(f)={\mathsf {r}}(g)}$.

Нарешті, подамо строге

Означення природного перетворення. Нехай ${\displaystyle F,G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}'}$ — два функтори між категоріями  ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(Mor,Ob,{\mathsf {d}},{\mathsf {r}},\circ )}$ та ${\displaystyle {\mathcal {A}}'=(Mor',Ob',{\mathsf {d}}',{\mathsf {r}}',\circ ')}$. Природним перетворенням функтора ${\displaystyle F}$ у функтор ${\displaystyle G}$ називаємо довільну функцію ${\displaystyle \eta :Ob\to Mor'}$, що ставить у відповідність кожному об'єкту ${\displaystyle a\in Ob}$ морфізм ${\displaystyle \eta (a)\in Mor'(F(a),G(a))}$ категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}'}$ таким чином, що задовольняється 
(Умова природності): Для довільного морфізму  ${\displaystyle f\in Mor}$ категорії ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ справедлива рівність ${\displaystyle G(f)\circ '\eta ({\mathsf {d}}(a))=\eta ({\mathsf {r}}(b))\circ 'F(f)}$.

Теорія множин та класів NBG є природною мовою при дослідженні сюрреальних чисел Конвея — цікавого об'єкта на стику теорії ігор, логіки, алгебри та (нестандартного) аналізу.

Сюрреальні числа утворюють властивий клас ${\displaystyle \mathbf {R} }$, який називається сюрреальною прямою і є максимальним нестандартним розширенням класичної дійсної прямої ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Для повноти подамо строге означення сюрреальної прямої. Це означення використовує поняття перерізу лінійного порядку.

Перерізом лінійного порядку ${\displaystyle L}$ називається впорядкована пара множин ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$, яка задовольняє умови:

• ${\displaystyle a\cap b=\emptyset }$ i ${\displaystyle a\cup b={\mathsf {dom}}[L]={\mathsf {ran}}[L]}$;
• ${\displaystyle \forall x\in a\;\forall y\in b\;(\langle x,y\rangle \in L)}$.

Через ${\displaystyle {\mathsf {cut}}(L)}$ позначаємо множину усіх перерізів лінійного порядку ${\displaystyle L}$ (зауважимо, що лінійний порядок є множиною, якщо він має хоча б один переріз).

Сюрреальна пряма ${\displaystyle \mathbf {R} }$ є областю визначення лінійного порядку ${\displaystyle \mathbf {R} _{\leq }=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {On} }R_{\alpha }}$, що є об'єднанням лінійних порядків ${\displaystyle R_{\alpha }}$, які задаються рекурсивною формулою: ${\displaystyle R_{\alpha }=\bigcup _{\beta \in \alpha }R_{\beta }\cup \{\langle \langle a,b\rangle ,\langle a',b'\rangle \rangle \in {\mathsf {cut}}(R_{\beta })\times {\mathsf {cut}}(R_{\beta }):a\subseteq a'\}\cup \{\langle x,\langle a,b\rangle \rangle \in R_{\beta }\times {\mathsf {cut}}(R_{\beta }):x\in a\}\cup \{\langle \langle a,b\rangle ,y\rangle \in {\mathsf {cut}}(R_{\beta })\times R_{\beta }:y\in b\}.}$

Існування класу ${\displaystyle \mathbf {R} _{\leq }}$забезпечує теорема рекурсії. Нескладно переконатися, що сюрреальна пряма містить усі ординали.

Конвей[2] та Кнут[3] довели, що звичайні операції додавання і множення натуральних чисел продовжуються до операцій додавання і множення сюрреальних чисел. Ці операції перетворюють сюрреальну пряму, наділену лінійним порядком ${\displaystyle \mathbf {R} _{\leq }}$, на впорядковане поле, що містить ізоморфні копії всіх інших впорядкованих полів. Використовуючи ці алгебраїчні операції над сюрреальними числами, можна цілком законно застосовувати їх до ординалів і говорити, наприклад, про частки чи квадратні корені з ординалів. Ці дивовижні властивості сюрреальної прямої свідчать про її фундаментальну роль у теорії NBG.

• Універсум фон Неймана

• Bernays, Paul (1937). A System of Axiomatic Set Theory—Part I. The Journal of Symbolic Logic 2 (1): 65–77. JSTOR 2268862. doi:10.2307/2268862.
• Bernays, Paul (1941). A System of Axiomatic Set Theory—Part II. The Journal of Symbolic Logic 6 (1): 1–17. JSTOR 2267281. doi:10.2307/2267281.
• Bernays, Paul (1991). Axiomatic Set Theory (вид. 2nd Revised). Dover Publications. ISBN 978-0-486-66637-2.
• Conway, John (1976). On numbers and games. London, New York, San Francisco: Academic Press. с. 238.
• Gödel, Kurt (1940). The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (вид. Revised). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07927-1.
• Kanamori, Akihiro (2009). Bernays and set theory. Bull. Symbolic Logic 15 (1): 43--69.
• Knuth, Donald (1974). Surreal numbers. Massachusetts: Addison-Wesley, Reading. с. 19.
• Gödel, Kurt (2008). The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory. with a foreword by Laver, Richard (вид. Paperback). Ishi Press. ISBN 978-0-923891-53-4.
• Gödel, Kurt (1986). Collected Works, Volume 1: Publications 1929–1936. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514720-9.
• Gödel, Kurt (1990). Collected Works, Volume 2: Publications 1938–1974. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514721-6.
• Gödel, Kurt (2003). Collected Works, Volume 4: Correspondence A–G. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850073-5.
• Mendelson, Elliott (1997). An Introduction to Mathematical Logic (вид. 4th). London: Chapman & Hall. ISBN 0-412-80830-7.
• von Neumann, John (1925). Eine Axiomatisierung der Mengenlehre. Journal für die reine und angewandte Mathematik 154: 219–240.
• von Neumann, John (1928). Die Axiomatisierung der Mengenlehre. Mathematische Zeitschrift 27: 669–752. doi:10.1007/bf01171122.
• von Neumann, John (1929). Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 160: 227–241.
• Sierpiński W., L'hypothèse généralisée du continu et l'axiome du choix, Fund. Math. 34 (1947) 1-5.
• Kanamori, Akihiro (2009). Bernays and Set Theory. Bulletin of Symbolic Logic 15: 43–69. doi:10.2178/bsl/1231081769.