Тип порядку

Нехай ${\displaystyle (S,\leq )}$ буде цілком впорядкованою множиною. Ми почнемо з використання трансфінітної рекурсії для побудування послідовностей підмножин ${\displaystyle (S,\leq )}$.

• База: Нехай ${\displaystyle S_{0}=\emptyset .}$
• Перехід до наступного: Для всіх порядкових чисел ${\displaystyle \alpha ,}$ визначимо ${\displaystyle x_{\alpha }}$ як найменший елемент з ${\displaystyle S\setminus S_{\alpha },}$ за умови, що ${\displaystyle S\setminus S_{\alpha }\neq \emptyset .}$ Тоді ${\displaystyle S_{\alpha +1}=S_{\alpha }\cup \{x_{\alpha }\}.}$
• Перехід до границі: Для всіх граничних порядкових чисел ${\displaystyle \lambda ,}$ визначити ${\displaystyle S_{\lambda }=\cup _{\alpha <\lambda }S_{\alpha }.}$

Цей процес має завершитись на певному порядковому числі ${\displaystyle \beta }$ (де ${\displaystyle S-S_{\beta }=\emptyset }$). Якщо ні, тоді порядкові числа можна вкласти в ${\displaystyle S,}$ з чого випливає, що ${\displaystyle S}$ занадто велике, щоб бути множиною, що протирічить умові теореми.

Тепер покажемо, що для кожного ${\displaystyle \alpha <\beta }$ множина ${\displaystyle S_{\alpha }}$ порядково ізоморфна ${\displaystyle \alpha .}$

• База: ${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$ порядково ізоморфна ${\displaystyle 0=\emptyset }$ через порожню фукнцію, яка монотонна і єдина.
• Перехід до наступного: Припустимо, що ${\displaystyle S_{\alpha }}$ унікально порядково ізоморфна певному ${\displaystyle \alpha }$ для деякого порядкового числа ${\displaystyle \alpha <\beta .}$ Тобто, ${\displaystyle f_{\alpha }:S_{\alpha }\rightarrow \alpha }$ це унікальний ізоморфізм порядку.

Тепер, за визначенням, ${\displaystyle S_{\alpha +1}=S_{\alpha }\cup \{x_{\alpha }\},}$ де ${\displaystyle x_{\alpha }}$ це найменший елемент ${\displaystyle S\setminus S_{\alpha }.}$ Звідси видно, що ${\displaystyle x_{\alpha }}$ це найбільший елемент з ${\displaystyle S_{\alpha +1}.}$ Тому, ми визначимо функцію ${\displaystyle f_{\alpha +1}:S_{\alpha +1}\rightarrow \alpha +1}$ як ${\displaystyle f_{\alpha +1}(x)=f_{\alpha }(x)}$ для всіх ${\displaystyle x\in S_{\alpha }}$ і ${\displaystyle f_{\alpha +1}(x_{\alpha })=\alpha .}$

Очевидно, що ${\displaystyle f_{\alpha +1}}$ це порядковий ізоморфізм і він має бути унікальним, бо максимальні елементи відповідають один одному і ${\displaystyle f_{\alpha }}$ унікальна.

• Перехід до границі: Нехай ${\displaystyle \lambda \leq \beta }$ це граничне порядкове число і припустимо, що ${\displaystyle f_{\alpha }:S_{\alpha }\rightarrow \alpha }$ це унікальний ізоморфізм порядку для кожного ${\displaystyle \alpha <\lambda .}$ Зауважимо, що з того, що ${\displaystyle S_{\gamma }\subset S_{\delta }}$ при ${\displaystyle \gamma <\delta }$ випливає, що ці ізоморфізми порядку мають бути узгодженими, тобто, якщо ${\displaystyle \gamma <\delta ,}$ то ${\displaystyle f_{\gamma +1}(x_{\gamma })=f_{\delta }(x_{\gamma }).}$ Тепер, визначимо ${\displaystyle f_{\lambda }:S_{\lambda }\rightarrow \lambda }$ як ${\displaystyle f_{\lambda }(x_{\alpha })=f_{\alpha +1}(x_{\alpha }).}$

Нехай ${\displaystyle f_{\lambda }(x_{\gamma })=f_{\lambda }(x_{\delta })}$ для ${\displaystyle \gamma \leq \delta <\lambda .}$ За означенням, ${\displaystyle f_{\lambda }(x_{\gamma })=f_{\gamma +1}(x_{\gamma })}$ і ${\displaystyle f_{\lambda }(x_{\delta })=f_{\delta +1}(x_{\delta }).}$ Це дає рівність

${\displaystyle f_{\gamma +1}(x_{\gamma })=f_{\delta +1}(x_{\delta })}$

Завдяки тому, що функції узгоджені, ${\displaystyle f_{\gamma +1}(x_{\gamma })=f_{\delta +1}(x_{\gamma }).}$ Тоді ${\displaystyle f_{\delta +1}(x_{\gamma })=f_{\delta +1}(x_{\delta }),}$ отже ${\displaystyle x_{\gamma }=x_{\delta }}$ і тому ${\displaystyle f_{\lambda }}$ ін'єктивна.

Тепер, нехай ${\displaystyle \alpha \in \lambda }$ через те, що ${\displaystyle \lambda }$ складається з усіх порядкових чисел менших ніж ${\displaystyle \lambda }$ маємо, що ${\displaystyle \alpha <\lambda .}$ А з того, що ${\displaystyle \lambda }$ це граничне порядкове число випливає, що ${\displaystyle \alpha +1<\lambda .}$ Отже, ${\displaystyle f_{\lambda }(x_{\alpha })=f_{\alpha +1}(x_{\alpha })=\alpha ,}$ і тому ${\displaystyle f_{\lambda }}$ сюр'єктивна.

Нехай ${\displaystyle x_{\gamma }<x_{\delta }\in S_{\lambda }.}$ Тоді ${\displaystyle f_{\lambda }(x_{\lambda })=f_{\delta +1}(x_{\gamma })<f_{\delta +1}(x_{\delta }),}$ отже ${\displaystyle f}$ зберігає порядок.

Насамкінець, за тією ж аргументацією, ${\displaystyle f_{\lambda }}$ унікальна (бо ${\displaystyle f_{\lambda }}$ це ізоморфізм порядку і його звуження до ${\displaystyle S_{\alpha }}$ мусить бути унікальним ізоморфізмом порядку з ${\displaystyle \alpha }$).

Отже, за допомогою трансфінітної індукції ми довели, що існує унікальний ізоморфізм порядку з ${\displaystyle S_{\beta }}$ на ${\displaystyle \beta .}$ Завдяки способу побудови очевидно, що існує ізоморфізм порядку з ${\displaystyle (S,\leq )}$ на ${\displaystyle \beta ,}$ а отже існує унікальний ізоморфізм порядку з ${\displaystyle (S,\leq )}$ на ${\displaystyle \beta }$ з чого випливає, що ${\displaystyle (S,\leq )}$ має тип порядку ${\displaystyle \beta .}$