Топологія ірраціонального схилу

Нехай ${\displaystyle X=\{(x,y)|x,y\in \mathbb {Q} ,y\geq 0\}}$ та ${\displaystyle \theta }$ — фіксоване ірраціональне число. Топологія ірраціонального схилу ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle X}$ породжується ${\displaystyle \varepsilon }$-околами ${\displaystyle N_{\varepsilon }(x,y)=\{(x,y)\}\cup B_{\varepsilon }(x+y/\theta )\cup B_{\varepsilon }(x-y/\theta )}$, де ${\displaystyle B_{\varepsilon }(\zeta )=\{r\in \mathbb {Q} |r-\zeta <\varepsilon \}}$. Кожен ${\displaystyle N_{\varepsilon }(x,y)}$ складається з ${\displaystyle \{(x,y)\}}$ та двох інтервалів на осі ${\displaystyle x}$ з центрами в точках ${\displaystyle x\pm y/\theta }$. Лінії, що з'єднують ці точки з ${\displaystyle (x,y)}$, мають схил ${\displaystyle \pm \theta }$.

• ${\displaystyle X}$ — гаусдорфів, бо ${\displaystyle \theta }$ — ірраціональне, тому одночасно дві точки з ${\displaystyle X}$ не можуть лежати на лінії зі схилом ${\displaystyle \theta }$, і якщо одна точка з ${\displaystyle X}$ лежить на лінії зі схилом ${\displaystyle \theta }$, інша не може лежати на лінії зі схилом ${\displaystyle -\theta }$, що перетинає першу лінію в точці перетину з віссю ${\displaystyle x}$. Тому будь-які дві різні точки мають проектуватися (вздовж ліній зі схилом ${\displaystyle \theta ,-\theta }$) на різні пари ірраціональних точок на осі ${\displaystyle x}$ з околами, що не перетинаються.
• Замикання кожного базового околу ${\displaystyle N_{\varepsilon }(x,y)}$ містить об'єднання чотирьох смуг зі схилом ${\displaystyle \pm \theta }$, що виходять з ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x+y/\theta )}$ і ${\displaystyle B_{\varepsilon }(x-y/\theta )}$, оскільки кожна точка в кожному промені проектується в ірраціональне число на осі ${\displaystyle x}$, що лежить в ${\displaystyle \varepsilon }$-околі або точки ${\displaystyle x+y/\theta }$, або ${\displaystyle x-y/\theta }$, тому замикання кожних двох відкритих множин мусять перетинатися. Отже ${\displaystyle (X,\tau )}$ не є ${\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}$, ${\displaystyle T_{3}}$, ${\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}$, ${\displaystyle T_{4}}$, ${\displaystyle T_{5}}$-простором.
• З того, що замикання кожного базового околу містить околи кожної точки в ромбі, утвореному перетином смуг, випливає, що кожна регулярна відкрита множина має містити такий ромб, і тому не може сформувати базу топології. Отже ${\displaystyle (X,\tau )}$ не напіврегулярний.
• Оскільки замикання будь-яких двох відкритих множин має непорожній перетин, то ${\displaystyle (X,\tau )}$ зв'язний. Отже, це зліченний зв'язний гаусдорфів простір. Але він не може бути лінійно зв'язним, бо якщо відображення ${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow X}$ неперервне, то ${\displaystyle \{f^{-1}(p):p\in X\}}$ є зліченним набором неперетинних замкнених множин, що покривають ${\displaystyle [0,1]}$, а це неможливо.
• Кожна дійсна неперервна функція ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (X,\tau )}$ є сталою, бо в іншому разі ${\displaystyle f(X)}$ містило би дві неперетинні відкриті множини з неперетинними замиканнями. Прообрази тоді були б неперетинними відкритими множинами з неперетинними замиканнями, що неможливо. Тому ${\displaystyle X}$ псевдокомпактний.
• Оскільки ${\displaystyle X}$ злічений, і будь-яка точка ${\displaystyle X}$ має зліченну базу системи околів, то ${\displaystyle X}$ задовольняє другу аксіому зліченності, і тому має ${\displaystyle \sigma }$-локально скінченну базу. Але ${\displaystyle X}$ не є ${\displaystyle T_{3}}$-простором, і тому не метризовний.
• ${\displaystyle X}$ не є навіть слабко зліченно компактним, тому що послідовність цілих чисел на осі ${\displaystyle x}$ не має границі.

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. (Приклад 75)