Трикутник Кеплера

Факт того, що сторони ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ та ${\displaystyle \varphi }$, формують прямокутний трикутник отримується прямо шляхом переписання квадратного полінома, що визначає золотий перетин ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

у вигляді теореми Піфагора:

${\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}$

Спосіб побудови трикутника Кеплера через золотий прямокутник

Трикутник Кеплера може бути побудований за допомогою циркуля та лінійки через золотий прямокутник:

1. Малюємо звичайний квадрат
2. Проводимо лінію через центр одної сторони квадрата і протилежну вершину
3. Використовуємо цю лінію для накреслення дуги, що визначає висоту прямокутника
4. Використовуємо довшу сторону золотого прямокутника для малювання дуги, що перетинає протилежну сторону прямокутника і визначає гіпотенузу трикутника Кеплера

Візьмемо трикутник Кеплера зі сторонами ${\displaystyle a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,}$ і розглянемо:

• описане навкольо нього коло і
• квадрат зі стороною, рівною середній за величиною стороні трикутника.

Тоді периметр квадрата (${\displaystyle 4a{\sqrt {\varphi }}}$) и довжина кола (${\displaystyle a\pi \varphi }$) збігаються з точністю до 0,1 %.

Це математичний збіг ${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}}$. Ці квадрат і коло не можуть мати однакової довжини периметра, оскільки в цьому випадку можна було б розв'язати класичну нерозв'язну задачу про квадратуру круга. Іншими словами, ${\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}}$ оскільки ${\displaystyle \pi }$ — трансцендентне число.