Чудові точки трикутника

Точки перетину:

• медіан — центроїд, центр ваги (мас);
• бісектрис — інцентр або центр вписаного кола;
• висот — ортоцентр;
• серединних перпендикулярів — центр описаного кола;

Центроїд	Інцентр	Ортоцентр	Центр описаного кола

Якщо хоча б дві з цих чотирьох чудових точок трикутника збігаються, то трикутник є правильним.

Точки перетину:

• бісектрис зовнішніх кутів — центр зовнівписаного кола;
• 

  Центр зовнівписаного кола

• антибісектрис — центр антибісектрис;
• симедіан — точка Лемуана;
• бісектрис серединного трикутника (його інцентра) — центр Шпікера;
• кліверів трикутника — також центр Шпікера;
• трьох (або навіть двох) кіл, побудованих, як на діаметрі, на відрізку, що з'єднує основи внутрішньої і зовнішньої бісектриси, випущених з одного кута, — дві точки Аполлонія;

Точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника:

• з точками дотику протилежних сторін і вписаного кола — точка Жергонна;
• з точками дотику протилежних сторін і зовнівписаних кіл — точка Наґеля;

Точка Жергонна

Точка Нагеля

• з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі;
• з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих всередину трикутника — друга точка Торрічеллі;
• з відповідними вільними вершинами трикутників, подібних до початкового трикутника і побудованих на його сторонах — точки Брокара.

Мінімаксними (екстремальними) точками трикутника називаються точки, в яких досягається мінімум деякої функції, наприклад, суми степенів відстаней до сторін або вершин трикутника[1].

Мінімаксними точками трикутника є:

• точка перетину трьох медіан, що має найменшу суму квадратів відстаней до вершин трикутника (теорема Ляйбніца);
• точка перетину трьох медіан трикутника, єдина точка трикутника така, що проведені через неї три чевіани ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. При цьому добуток довжин трьох з цих шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний[2];
• перша точка Торрічеллі, що має найменшу суму відстаней до вершин трикутника з кутами не більше 120 градусів;
• точка Лемуана, що має найменшу суму квадратів відстаней до сторін трикутника;
• основи висот гострокутного трикутника утворюють ортотрикутник, який має найменший периметр з усіх трикутників, вписаних у даний трикутник.

Ізо-точками є точки трикутника, що дають будь-які рівні параметри трьох трикутників, які утворюються при з'єднанні ізо-точки відрізками з трьома вершинами трикутника[3] . В результаті утворюється фігура типу " око дракона " (див. Рис.)

Око дракона

Ізо-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «око дракона»:

• ортоцентр (дає три трикутники з трьома рівними радіусами трьох описаних навколо них кіл),
• точка перетину медіан (дає три трикутники з трьома рівними площами)
• інцентр (дає три трикутники з трьома рівними висотами)
• центр описаного кола (дає три рівнобедрених трикутники з трьома рівними парами сторін),
• точка рівних периметрів ${\displaystyle P}$ або ізопериметрична точка (дає три трикутники з трьома рівними периметрами[4]),
• точка Торрічеллі (перша) (дає три трикутники з трьома рівними тупими кутами в ${\displaystyle 120^{\circ }}$).
• Точка розбиття трикутника на три трикутники з трьома однаковими радіусами вписаних кіл
• Центр Шпікера трикутника є радикальним центром трьох його зовнівписаних кіл[5] (має три пари рівних дотичних відразу до трьох зовнівписаних кіл).

Ізо-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Трилистник (вузол)»:

• Центр Шпікера ${\displaystyle S}$ є точкою перетинів прямих ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ і ${\displaystyle CZ}$, де ${\displaystyle XBC}$, ${\displaystyle YCA}$ і ${\displaystyle ZAB}$ подібні, рівнобедрені та однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ${\displaystyle ABC}$ зовні, що мають один і той самий кут біля основи ${\displaystyle \operatorname {arctg} [\operatorname {tg} (A/2)\operatorname {tg} (B/2)\operatorname {tg} (C/2)]}$[5] .
• Перша точка Наполеона ${\displaystyle N_{1}}$, як і центр Шпікера, є точкою перетинів прямих ${\displaystyle AX}$, ${\displaystyle BY}$ і ${\displaystyle CZ}$, де ${\displaystyle XBC}$, ${\displaystyle YCA}$ і ${\displaystyle ZAB}$ подібні, рівнобедрені та однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника ${\displaystyle ABC}$ зовні, що мають один і той самий кут біля основи ${\displaystyle 30^{\circ }}$ .
• Тут треба було б перерахувати всі точки, що лежать на гіперболі Кіперта.

Із-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Квітка традесканції» наступні:

• точка перетину медіан утворює трьома малими відрізками чевіан три чотирикутники з рівними площами;
• точка перетину бісектрис утворює трьома перпендикулярами до трьох сторін трикутника три чотирикутники — дельтоїди з двома однаковими у всіх суміжними сторонами. Інша пара рівних суміжних сторін у загальному випадку у всіх різна. У всіх трьох дельтоїдів є пара рівних протилежних кутів ${\displaystyle 90^{\circ }}$ . Вони — вписано-описані чотирикутники.
• Три кола, проведені всередині трикутника через точку Мікеля, перетинають сторони трикутника в трьох точках. Три хорди, проведені через точку Мікеля, і три точки перетину трьох кіл з трьома різними сторонами трикутника, утворюють рівні кути зі сторонами.

• Бевз Г.П. Геометрія трикутника. Навчально-методичний посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. - К.:Генеза, 2005. - 120 с.: іл.
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962.
• Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика/Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М. : МЦНМО, 2002.
• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (23 січня).

• Енциклопедія центрів трикутника(англ.) )
• Енциклопедія центрів трикутника