Чудові точки трикутника

Чудові точки трикутника — точки, розташування яких однозначно визначається трикутником і не залежить від того, в якому порядку беруться сторони і вершини трикутника.

Зазвичай вони розташовані всередині трикутника, але це не обов'язково. Зокрема, точка перетину висот може лежати поза трикутником.

Енциклопедія чудових точок трикутника (англ. The Encyclopedia of Triangle Centers; ETC) містить понад 32 тис. (станом на 2019) «центрів трикутника» — точок, пов'язаних з геометрією трикутника.

Деякі приклади чудових точок трикутника

Точки перетину:

Центроїд
Інцентр
Ортоцентр
Центр описаного кола

Якщо хоча б дві з цих чотирьох чудових точок трикутника збігаються, то трикутник є правильним.

Точки перетину:






Точки перетину відрізків, що з'єднують вершини трикутника:

Точка Жергонна
Точка Нагеля
  • з відповідними вільними вершинами рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах трикутника (назовні) — перша точка Торрічеллі;
  • з відповідними вільними вершинами правильних трикутників, побудованих всередину трикутника — друга точка Торрічеллі;
  • з відповідними вільними вершинами трикутників, подібних до початкового трикутника і побудованих на його сторонах точки Брокара.

Мінімаксні точки трикутника

Мінімаксними (екстремальними) точками трикутника називаються точки, в яких досягається мінімум деякої функції, наприклад, суми степенів відстаней до сторін або вершин трикутника[1].

Мінімаксними точками трикутника є:

  • точка перетину трьох медіан, що має найменшу суму квадратів відстаней до вершин трикутника (теорема Ляйбніца);
  • точка перетину трьох медіан трикутника, єдина точка трикутника така, що проведені через неї три чевіани ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. При цьому добуток довжин трьох з цих шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний[2];
  • перша точка Торрічеллі, що має найменшу суму відстаней до вершин трикутника з кутами не більше 120 градусів;
  • точка Лемуана, що має найменшу суму квадратів відстаней до сторін трикутника;
  • основи висот гострокутного трикутника утворюють ортотрикутник, який має найменший периметр з усіх трикутників, вписаних у даний трикутник.

Ізо-точки трикутника

Ізо-точками є точки трикутника, що дають будь-які рівні параметри трьох трикутників, які утворюються при з'єднанні ізо-точки відрізками з трьома вершинами трикутника[3] . В результаті утворюється фігура типу " око дракона " (див. Рис.)

Око дракона

Ізо-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «око дракона»:

  • ортоцентр (дає три трикутники з трьома рівними радіусами трьох описаних навколо них кіл),
  • точка перетину медіан (дає три трикутники з трьома рівними площами)
  • інцентр (дає три трикутники з трьома рівними висотами)
  • центр описаного кола (дає три рівнобедрених трикутники з трьома рівними парами сторін),
  • точка рівних периметрів або ізопериметрична точка (дає три трикутники з трьома рівними периметрами[4]),
  • точка Торрічеллі (перша) (дає три трикутники з трьома рівними тупими кутами в ).
  • Точка розбиття трикутника на три трикутники з трьома однаковими радіусами вписаних кіл
  • Центр Шпікера трикутника є радикальним центром трьох його зовнівписаних кіл[5] (має три пари рівних дотичних відразу до трьох зовнівписаних кіл).


Ізо-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Трилистник (вузол)»:

  • Центр Шпікера є точкою перетинів прямих , і , де , і подібні, рівнобедрені та однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника зовні, що мають один і той самий кут біля основи [5] .
  • Перша точка Наполеона , як і центр Шпікера, є точкою перетинів прямих , і , де , і подібні, рівнобедрені та однаково розташовані, побудовані на сторонах трикутника зовні, що мають один і той самий кут біля основи .
  • Тут треба було б перерахувати всі точки, що лежать на гіперболі Кіперта.

Із-точки трикутника, що утворюють фігуру типу «Квітка традесканції» наступні:

  • точка перетину медіан утворює трьома малими відрізками чевіан три чотирикутники з рівними площами;
  • точка перетину бісектрис утворює трьома перпендикулярами до трьох сторін трикутника три чотирикутники дельтоїди з двома однаковими у всіх суміжними сторонами. Інша пара рівних суміжних сторін у загальному випадку у всіх різна. У всіх трьох дельтоїдів є пара рівних протилежних кутів . Вони — вписано-описані чотирикутники.
  • Три кола, проведені всередині трикутника через точку Мікеля, перетинають сторони трикутника в трьох точках. Три хорди, проведені через точку Мікеля, і три точки перетину трьох кіл з трьома різними сторонами трикутника, утворюють рівні кути зі сторонами.

Примітки

  1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии. // Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург : сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). СПб., 2016. — С. 97.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 12, задача.
  3. Стариков В. Н. Заметки по геометрии // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки : сборник научных трудов. — Чебоксары : ЦДИП «INet», 2014. — 23 января. С. 37, левая колонка, последний абзац.
  4. Isoperimetric Point and Equal Detour Point (англ.).
  5. Odenhal, 2010, с. 35—40.

Література

  • Бевз Г.П. Геометрія трикутника. Навчально-методичний посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. - К.:Генеза, 2005. - 120 с.: іл.
  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962.
  • Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика/Голов. ред. М. Д. Аксьонова. — М: Аванта +, 2001. — 688 c.: іл.
  • Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. — М. : МЦНМО, 2002.
  • Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum.  2010. Т. 10 (23 січня).

Посилання

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.