Трійковий код Голея

Трійковий код Голея складається з 3⁶ = 729 кодових слів. Ось його матриця перевірки на парність:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccccccccc}1&1&1&2&2&0&1&0&0&0&0\\1&1&2&1&0&2&0&1&0&0&0\\1&2&1&0&1&2&0&0&1&0&0\\1&2&0&1&2&1&0&0&0&1&0\\1&0&2&2&1&1&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}$

Будь-які два кодових слова мають хоча б 5 відмінностей. Кожне трійкове слово довжиною в 11, має відстань Геммінга не більше 2 з одного кодового слова. Код також може конструюватися як квадратний код залишку довжиною в 11 у скінченному полі F₃.

Використаний при ставках на футбол в 11 іграх, трійковий код Голея відповідає 729 ставкам і гарантує саме одну ставку з якнайбільше двома неправильними результатами.

Набір кодових слів з вагою Геммінга 5 — це 3-(11,5,4) блок-дизайн.

Повний ваговий лічильник розширеного трійкового коду — це:

${\displaystyle x^{12}+y^{12}+z^{12}+22\left(x^{6}y^{6}+y^{6}z^{6}+z^{6}x^{6}\right)+220\left(x^{6}y^{3}z^{3}+y^{6}z^{3}x^{3}+z^{6}x^{3}y^{3}\right).}$

Автоморфізм груп розширеного трійкового коду Голея — це 2.M₁₂, де M₁₂ являє собою групу Метью M12.

Розширений код Голлея може бути збудований як пропуск рядків матриці Адамара 12-го порядку у полі F₃.

Розглядаючи всі кодові слова розширеного коду, які мають шість ненульових цифр, ми помітимо, що Набори позицій, в яких зустрічаються ці ненульові цифри становлять системи Штейнера S (5, 6, 12).