Двійковий код Голея

У математичних термінах, розширений двійковий код Голея G₂₄ складається з 12-вимірного лінійного підпростору W простору V=F₂²⁴ 24-бітових слів таких, що будь-які два різних елемента W відрізняються щонайменше на 8 координат. W називається лінійним кодом, тому що це векторний простір. Взагалі, W містить 4096 = 2¹² елементів.

• Елементи W називаються кодовими словами. Вони також можуть бути описані як підмножини набору з 24 елементів, де додавання визначено як прийняття симетричної різниці підмножин.
• У розширеному двійковому коду Голея, все кодові слова мають вагу Геммінга яка складає 0, 8, 12, 16 або 24-біта. Кодові слова ваги 8 називаються октади і кодові слова ваги 12 називаються додекади.
• Октади коду G₂₄ є елементами S(5,8,24) системи Штейнера. Існує 759 = 3*11*23 октади і їх 759 додатків . Звідси випливає, що є 2576 = 2⁴*7*23 додекадів.
• Два октади перетинаються (у 1-х загальних) в 0, 2, 4 або в координатах в бінарного вектора (можливі розміри перетинів подані в підмножинах). Октади і додекади перетинаються в 2, 4 або 6 координатах.
• До перепризначення координат, W є унікальним.

Двійковий код Голея, G₂₃ є досконалим кодом. Тобто сфери радіуса навколо трьох кодових слів утворюють розбиття векторного простору. G₂₃ це 12-вимірний лінійний підпростір простору F₂²³.

Група автоморфізмів досконалого двійкового коду Голея, G₂₃, це група Матьє ${\displaystyle M_{23}}$. Група автоморфізмів з розширеного двійкового коду Голея є група Матьє ${\displaystyle M_{24}}$,порядку 2¹⁰*3³*5*7*11*23. ${\displaystyle M_{24}}$ транзитивність на октади і на додекади. Інші групи Матьє відбуваються як дія групи одного або кількох елементів W.

• Лексикографічний код: В свою чергу вектори в V просторі задані лексично (тобто можливо інтерпретувати їх як непідписані 24-розрядні двійкові цілі числа і взяти звичайний порядок). Починаючи з w₀ = 0, визначимо w₁, w₂, …, w₁₂ за правилом: w_n найменше ціле число, яке відрізняється від усіх лінійних комбінацій попередніх елементів, щонайменше на вісім координат. Звідси W може бути визначена як проміжок w₁, …, w₁₂.
• Квадратний код залишку: Розглянемо набір N квадратичних невирахувань (mod 23). Це 11-елементна підмножина з циклічною групою Z/23Z. Розглянемо зрушення t+N цієї підмножини. Доповніть кожен переклад, щоб встановити 12-елементне S_t шляхом додавання елементу до ∞. Потім позначимо базисні елементи V, як 0, 1, 2, …, 22, ∞, W може бути визначена як проміжок слів S_t разом зі словом, що складає з усі базисні вектори. (Досконалий код отримується шляхом виходу з ∞.)
• Як Циклічний код: Досконалий G₂₃ код може бути побудований за допомогою факторизации ${\displaystyle x^{23}-1}$ над бінарним полем GF(2):

${\displaystyle x^{23}-1=(x-1)(x^{11}+x^{9}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x+1)(x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1).}$

Це код, згенерований ${\displaystyle \left(x^{11}+x^{10}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+1\right)}$.[4] У будь-якому з 11-ти ступенів нескоротні множники можуть бути використані для генерації коду.[5]

• Будівництво Тьюріну в 1967 р, "Проста Побудова бінарного коду Голея ", який починається з коду Геммінга довжини 8 і не використовує квадратичних відрахувань mod 23.[6]
• Від Система Штейнера S(5,8,24), що складається з 759 підмножин і 24-наборів. Якщо інтерпретувати підтримку кожної підмножини, як 0-1-кодового слова довжиною 24-біта (код Геммінга вагою 8), вони є «октадами» в двійковому коді Голея. Весь код Голея може бути отриманий шляхом повторного прийняття симетричної різниці множин в підмножинах, тобто двійковим додаванням. Ще простіше записати системи Штейнера відповідно, октади є дивом октадного генератору Р. Т. Куртісу, який використовує конкретну 1:1 відповідність між 35 розділами 8-набору і 35 розділами кінцевого векторного простору${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{4}}$ в 4-х площинах.[7] На даний момент часто використовується компактний підхід Гексакоду Конвея, який використовує 4×6 масив квадратних осередків.
• Головні позиції в математичній грі Могула: в Могулі розташований ряд з 24 монет. Кожен хід складається з перегортання від одного до семи монет таким чином, що найлівіша з перевернутих монет йде від голови до хвоста. Програють ті гравці, які не мають права законного ходу. Якщо голови інтерпретуються як 1 і хвости як 0, то перехід до кодового слова з розширеним двійковим кодом Голея гарантує, що буде можливо отримати перемогу.
• Генератор матриці для бінарного коду Голея I A, де I це 12×12 одинична матриця, і A є доповненням до матриці суміжності ікосаедра.

• Решітка Ліча
• Майже многокутник

• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Неіл Дж. A. (1999). Сфера Упаковки, решітки та групи. Основні вчення математичних наук 290 (вид. 3-є). Берлін, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98585-5. MR 0920369.
• Куртіс, Р. T. (1976). Новий підхід до комбінаторики M₂₄. Математичні Праці Кембриджського філософського товариства 79: 25–42. doi:10.1017/S0305004100052075.
• Голей, Марсель Дж. E. (1949). Зауваження до цифрового кодування. Proc. IRE 37: 657.
• Греферас, Маркус (2003). коди Голея. У Проакіс, Джон Дж. Енциклопедія телекомунікацій. Віллі. doi:10.1002/0471219282.
• Роберт Грісс (1998). Дванадцять спорадичних груп. Спрінгер. с. 167. ISBN 978-3-540-62778-4.
• Плесс, Вера (1998). Введення в теорію кодів, що виправляють помилки (вид. 3rd). Джон Віллі & Сини. ISBN 978-0-471-19047-9.
• Роман, Стівен (1996). Кодування і теорія інформації. Випускає Тексти з математики#134. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97812-7.
• Томпсон, Томас M. (1983). Коди, що виправляють помилки через Sphere Packings для простих груп. Карус, Математичні Монографії 21. Американська математична асоціація. ISBN 978-0-88385-023-7.