Узагальнена послідовність

Узагальненою послідовністю в топологічному просторі ${\displaystyle X}$ називається відображення з деякої направленої по зростанню множини ${\displaystyle \mathrm {A} }$ в ${\displaystyle X}$. Для узагальнених послідовностей використовуються позначення: ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in \mathrm {A} }}$ або просто ${\displaystyle \left\{x_{\alpha }\right\}}$.

Будь-яка послідовність є узагальненою послідовністю, в цьому випадку направленою множиною є множина натуральних чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Інший приклад узагальненої послідовності можна отримати розглянувши системи околів точок топологічного простору. Для деякої точки ${\displaystyle x}$ топологічного простору система околів ${\displaystyle B_{x}}$ із відношенням включення є направленою множиною: для двох околів ${\displaystyle U,V\in B_{x}}$ маємо ${\displaystyle U\geqslant V}$, якщо ${\displaystyle U\subset V}$. Якщо у кожному околі ${\displaystyle U\in B_{x}}$ вибрати довільну точку ${\displaystyle x_{U}\in U}$, то відображення ${\displaystyle U\mapsto x_{U}}$ є узагальненою послідовністю.

• Нехай ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle F}$ — топологічні простори і ${\displaystyle a\in E}$. Відображення ${\displaystyle f:E\to F}$ є неперервною в точці ${\displaystyle a}$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якої узагальненої послідовності ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in I}}$, що збігається до ${\displaystyle a}$ у просторі ${\displaystyle E}$, узагальнена послідовність ${\displaystyle (f(x_{i}))_{i\in I}}$ збігається до точки ${\displaystyle f(a)}$ у просторі ${\displaystyle F}$.

Якщо ${\displaystyle f}$ є неперервною в точці ${\displaystyle a}$, то для кожного околу ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle f(a)}$ у просторі ${\displaystyle F}$, множина ${\displaystyle f^{-1}(V)}$ є околом ${\displaystyle a}$ у ${\displaystyle E}$. Тому якщо ${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in I}}$ є узагальненою послідовністю, що збігається до точки ${\displaystyle a}$ у ${\displaystyle E}$ то існує ${\displaystyle \alpha \in I}$ для якого ${\displaystyle x_{\beta }\in f^{-1}(V)}$ для всіх ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$, тобто ${\displaystyle f(x_{\beta })\in V}$, і ${\displaystyle (f(x_{\alpha }))_{\alpha \in I}}$ збігається до ${\displaystyle f(a)}$ у ${\displaystyle F}$.

Навпаки, припустимо, що ${\displaystyle f}$ не є неперервною в точці ${\displaystyle a}$ і позначимо ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\supset )}$ направлену систему околів точки ${\displaystyle a}$. Існує окіл ${\displaystyle V}$ точки ${\displaystyle f(a)}$ у ${\displaystyle F}$, такий що для всіх ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle f(U)\not \subset V}$. Оберемо точки ${\displaystyle x_{U}\in U\cap \complement \left[f^{-1}(V)\right]}$ для всіх ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$ (з використанням аксіоми вибору). Тоді ${\displaystyle (x_{U})_{U\in {\mathcal {F}}}}$ збігається до ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle E}$ але ${\displaystyle (f(x_{U}))_{U\in {\mathcal {F}}}}$ не збігається до ${\displaystyle f(a)}$ у ${\displaystyle F}$.

• Якщо топологічний простір є гаусдорфовим, то кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю. Навпаки, якщо кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю, то простір є гаусдорфовим.

• Поняття границі узагальненої послідовності тісно пов'язане з поняттям точки дотику: точка є точкою дотику множини тоді і тільки тоді, коли існує збіжна до цієї точки узагальнена послідовність елементів цієї множини.

• Підмножина топологічного простору є замкнутою тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної узагальненої послідовності її елементів границя послідовності теж належить цій множині.

• Узагальнена послідовність є збіжною тоді і тільки тоді коли всі її узагальнені підпослідовності є збіжними. Границя узагальненої послідовності тоді є рівною границі будь-якої її підпослідовності.

• Топологічний простір є компактним тоді і тільки тоді, коли для кожної узагальненої послідовності його елементів існує збіжна узагальнена підпослідовність.

Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in I}}$ — сім'єю замкнутих підмножин X таких що ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}C_{i}\neq \emptyset }$ для кожної скінченної підмножини ${\displaystyle J\subseteq I}$. Тоді також ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}C_{i}\neq \emptyset }$. В іншому разі, ${\displaystyle \{C_{i}^{c}\}_{i\in I}}$ було б відкритим покриттям X для якого не існувало б скінченного підпокриття, що неможливо. Нехай A — направлена множина і ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$ — узагальнена послідовність у X. Для всіх ${\displaystyle \alpha \in A}$ позначимо ${\displaystyle E_{\alpha }\triangleq \{x_{\beta }:\beta \geq \alpha \}.}$ Сім'я множин ${\displaystyle \{\operatorname {cl} (E_{\alpha }):\alpha \in A\}}$ має властивість, що довільна скінченна підмножина множин має непустий перетин. Тому також ${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in A}\operatorname {cl} (E_{\alpha })\neq \emptyset }$. Ця множина буде множиною точок дотику узагальненої послідовності ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$, що є рівною точкам збіжності узагальнених підпослідовностей у ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$. Тому ${\displaystyle \langle x_{\alpha }\rangle _{\alpha \in A}}$ має збіжну узагальнену підпослідовність.

Навпаки припустимо, що кожна узагальнена послідовність у X має збіжну узагальнену підпослідовність. Припустимо, що ${\displaystyle \{U_{i}:i\in I\}}$ є відкритим покриттям X, що не містить скінченного підпокриття. Розглянемо ${\displaystyle D\triangleq \{J\subset I:|J|<\infty \}}$. Тоді D є направленою множиною щодо включення і для кожної ${\displaystyle C\in D}$, існує ${\displaystyle x_{C}\in X}$ таке що ${\displaystyle x_{C}\notin U_{a}}$ для всіх ${\displaystyle a\in C}$. Розглянемо узагальнену послідовність ${\displaystyle \langle x_{C}\rangle _{C\in D}}$. Для неї не існує збіжної узагальненої підпослідовності, тому що для всіх ${\displaystyle x\in X}$ існує ${\displaystyle c\in I}$ таке що ${\displaystyle U_{c}}$ є околом x;проте для всіх ${\displaystyle B\supseteq \{c\}}$, маємо ${\displaystyle x_{B}\notin U_{c}}$. Ця суперечність завершує доведення.

• Послідовність
• Фільтр (порядок)

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
• Kelley, John L. (1991). General Topology. Springer. ISBN 3-540-90125-6.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.