Фундаментальна послідовність

• Послідовність ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$ елементів метричного простору ${\displaystyle \ (M,d)}$ називається фундаментальною послідовністю, якщо для кожного дійсного ${\displaystyle \ \epsilon >0}$ існує таке ціле ${\displaystyle \ N}$ (яке залежить від ${\displaystyle \ \epsilon }$), що для всіх цілих ${\displaystyle \ m,n>N}$ виконується

${\displaystyle \rho (x_{m},x_{n})<\epsilon }$ (так званий критерій Коші).

Трохи неформально висловлюючись, вимагаємо, що члени послідовності ${\displaystyle x}$ із достатньо великими індексами (більшими за ${\displaystyle N}$) стають як завгодно близькими один до одного у ${\displaystyle M}$ (відстань менша за ${\displaystyle \epsilon }$). Це наштовхує на думку про існування границі фундаментальної послідовності у ${\displaystyle M}$. Але насправді границі може й не бути! А саме,

• Метричний простір ${\displaystyle \ (M,d),}$ в якому кожна фундаментальна послідовність має границю в ${\displaystyle \ M,}$ називають повним.

(Неформально: у ${\displaystyle M}$ «немає дірок», множина точок розриву є множина міри 0, М — вимірна за Жорданом.)

Будь-який метричний простір ${\displaystyle (M,d)}$ можна поповнити, тобто розширити його до простору

${\displaystyle ({\overline {M}},{\overline {d}}),\quad M\subseteq {\overline {M}},\quad {\overline {d}}(x,y)=d(x,y)\quad \forall x,y\in M,}$

приєднавши границі усіх фундаментальних послідовностей з ${\displaystyle M.}$

1. Будь-яка збіжна послідовність у довільному метричному просторі — фундаментальна. Наприклад: ${\displaystyle x_{n}=1/n\in \mathbb {Q} ,}$ що має границю ${\displaystyle 0\in \mathbb {Q} ,}$ — фундаментальна.

2. Множина ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дійсних чисел із звичайною відстанню ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ є повним метричним простором. (Це одна із найвизначніших властивостей дійсних чисел, що може бути навіть використана для їх аксіоматичної характеризації.) Тому довільна фундаментальна послідовність дійсних чисел має границю в ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Повнота ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дозволяє надати умови для збіжності послідовності (або ряду) дійсних чисел без обчислювання її (його) границі (див. критерій Вейєрштраса). Наприклад, визначимо послідовність за правилом

${\displaystyle x_{1}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}^{2}+3}}}$

(послідовності схожого типу з'являються у методі Ньютона розв'язання рівнянь). Тоді неважко довести, що це — фундаментальна послідовність дійсних чисел, тому вона має певну границю ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}\in \mathbb {R} .}$

3. Зауважимо, що всі члени щойно побудованої послідовності — раціональні числа, але її границя — ірраціональне число. Справді, ${\displaystyle x=x/2+1/(x^{2}+3),}$ звідки одержуємо, що ${\displaystyle x^{3}+3x-2=0,}$ тому ${\displaystyle x\notin \mathbb {Q} .}$ Розглянута як послідовність елементів з ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ із звичайною відстанню, вона так само є фундаментальною. Оскільки ми винайшли фундаментальну послідовність раціональних чисел, яка не має границі серед раціональних чисел, метричний простір ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не є повним. Одне із класичних означень дійсних чисел — вони є поповнення раціональних чисел, ${\displaystyle \mathbb {R} ={\overline {\mathbb {Q} }}}$ (див. вище).

4. Розглянемо метричний простір ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел із звичайною відстанню ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|.}$ Тоді неважко переконатися, що послідовність ${\displaystyle (x_{n})}$ — фундаментальна лише тоді, якщо вона «згодом постійна», тобто всі її члени із достатньо великими індексами дорівнюють певній цілій константі ${\displaystyle C\in \mathbb {Z} .}$ Справді, обираючи в означенні фундаментальної послідовності ${\displaystyle \epsilon =1,}$ знаходимо, що існує таке ціле ${\displaystyle N}$, що для всіх індексів ${\displaystyle m,n>N}$ виконується ${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<1.}$ Оскільки всі ${\displaystyle x_{n}}$ — цілі числа, а відстань між будь-якими відмінними цілими числами принаймні ${\displaystyle 1,}$ маємо ${\displaystyle x_{n}=x_{m}(=C)}$ для всіх ${\displaystyle m,n>N.}$

5. Розглянемо множину ${\displaystyle \mathbb {N} }$ натуральних чисел як метричний простір із дещо незвичайною відстанню. По-перше, нехай ${\displaystyle ord_{10}(m,n)}$ дорівнює максимальній кількості останніх цифр (тобто, рахуючи з кінця) у десятковому записі ${\displaystyle m}$ та ${\displaystyle n,}$ що збігаються між собою. Наприклад, ${\displaystyle ord_{10}(11,12)=0,ord_{10}(111,211)=2,ord_{10}(1,123111)=1.}$ Інакше кажучи, ${\displaystyle ord_{10}(m,n)}$ — це число нулів наприкінці десяткового запису ${\displaystyle m-n.}$ Визначимо відстань між натуральними числами за формулою ${\displaystyle d(m,n)=10^{-ord_{10}(m,n)}.}$ Можна переконатися, що ${\displaystyle (\mathbb {N} ,d)}$ становить собою метричний простір (пор. p-адичні числа). Утворимо послідовність ${\displaystyle (x_{n})}$ таким чином, що ${\displaystyle x_{n+1}}$ одержано з ${\displaystyle x_{n}}$ додаванням попереду його десяткового запису будь-якої цифри, що не дорівнює нулю (наприклад, можна визначити ${\displaystyle x_{n}=11\ldots 1,}$ що складається з ${\displaystyle n}$одиниць). Тоді ${\displaystyle (x_{n})}$ — це фундаментальна послідовність, що не має границі у ${\displaystyle \mathbb {N} .}$ Зокрема, цей метричний простір не є повним.

1. Кожна збіжна послідовність є фундаментальною, і кожна фундаментальна послідовність є обмеженою.

2. Якщо ${\displaystyle (x_{n})}$ і ${\displaystyle (y_{n})}$ — дві фундаментальні послідовності в просторі раціональних, дійсних чи комплексних чисел, тоді сума ${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$ і добуток ${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$ також є фундаментальними послідовностями.

3. Якщо ${\displaystyle f\colon M\to N}$ є рівномірно неперервним відображенням метричних просторів і ${\displaystyle (x_{n})}$ є фундаментальною послідовністю в ${\displaystyle M,}$ тоді ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ є фундаментальною послідовністю в ${\displaystyle N.}$

• банахів простір
• гільбертів простір
• p-адичні числа

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)