Унімодулярна ґратка

Унімодулярна ґратка — ціла ґратка з визначником $\pm 1$ . Останнє еквівалентне тому, що об'єм фундаментальної області ґратки дорівнює $1$ .

Визначення

Ґратка — вільна абелева група $\mathbb {Z} ^{n}$ скінченного рангу $n$ із симетричною білінійною формою $({*},{*})$ .
Ґратку можна також розглядати як підгрупу в дійсному векторному просторі $\mathbb {R} ^{n}$ із симетричною білінійною формою.
Число $n$ називається розмірністю ґратки, це розмірність відповідного дійсного векторного простору; це те саме, що й ранг $\mathbb {Z}$ -модуля $\mathbb {Z} ^{n}$ , або число твірних вільної групи $\mathbb {Z} ^{n}$ .
Ґратка називається цілою, якщо форма $({*},{*})$ набуває тільки цілочисельних значень.
Норма елемента $a$ ґратки визначається як $(a,a)$ .
Ґратка називається додатно визначеною або лоренцевою, і так далі, якщо таким є її векторний простір. Зокрема:
- Ґратка є додатно визначеною, якщо норма всіх ненульових елементів додатна.
- Сигнатура ґратки визначається як сигнатура форми на векторному просторі.
Визначник ґратки — це визначник матриці Грама її базису.
Ґратка називається унімодулярною, якщо її визначник дорівнює $\pm 1$ .
Унімодулярна ґратка називається парною, якщо всі норми її елементів парні.

Приклади

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , а також $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ — унімодулярні ґратки.
Ґратка E8, ґратка Ліча — парні унімодулярні ґратки.

Властивості

Для даної ґратки в $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ $\text{[math]}$ вектори $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $\text{[math]}$ такі, що $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $\text{[math]}$ для будь-якого $a\in \Lambda$ $\text{[math]}$ також утворюють ґратку звану двоїстою ґраткою до $\Lambda$ $\text{[math]}$ .
- Ціла ґратка унімодулярна тоді й лише тоді, коли її двоїста ґратка є цілою.
- Унімодулярна ґратка тотожна своїй двоїстій, тому унімодулярні ґратки також називаються самодвоїстими.
Непарні унімодулярні ґратки існують для всіх сигнатур.
Парна унімодулярна ґратка із сигнатурою $(m,n)$ $\text{[math]}$ існує тоді й лише тоді, коли $m-n$ $\text{[math]}$ ділиться на 8.
- Зокрема, парні додатно визначені унімодулярні ґратки існують тільки в розмірностях, кратних 8.
Тета-функція унімодулярних додатно визначених ґраток є модулярною формою.

Застосування

Друга група когомологій замкнутих однозв'язних орієнтованих топологічних чотиривимірних многовидів є унімодулярною ґраткою. Михайло Фрідман показав, що ця ґратка практично визначає многовид: існує єдиний многовид для кожної парної унімодулярної ґратки, і рівно по два для кожної непарної унімодулярної ґратки.
- Зокрема, для нульової форми це приводить до гіпотези Пуанкаре для 4-вимірних топологічних многовидів.
- Теорема Дональдсона свідчить, що якщо многовид є гладким і його ґратка додатно визначена, то вона повинна бути сумою копій $\mathbb {Z}$ $\text{[math]}$ .
  - Зокрема, що більшість із цих многовидів не має гладкої структури.

Література

Bacher, Roland; Venkov, Boris (2001). Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 et 28 [Unimodular integral lattices without roots in dimensions 27 and 28]. У Martinet, Jacques. Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires [Euclidean lattices, spherical designs and modular forms]. Monogr. Enseign. Math. (фр.) 37. Geneva: L'Enseignement Mathématique. с. 212–267. ISBN 2-940264-02-3. MR 1878751. Zbl 1139.11319. Архів оригіналу|archiveurl= вимагає |url= (довідка) за 28 вересня 2007.
Conway, J.H.; Sloane, N.J.A. (1999). Sphere packings, lattices and groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 290. With contributions by Bannai, E.; Borcherds, R.E.; Leech, J.; Norton, S.P.; Odlyzko, A.M.; Parker, R.A.; Queen, L.; Venkov, B.B. (вид. Third). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9. MR 662447. Zbl 0915.52003.
King, Oliver D. (2003). A mass formula for unimodular lattices with no roots. Mathematics of Computation 72 (242): 839–863. MR 1954971. Zbl 1099.11035. arXiv:math.NT/0012231. doi:10.1090/S0025-5718-02-01455-2.
Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. MR 0506372. Zbl 0292.10016. doi:10.1007/978-3-642-88330-9.
Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. MR 0344216. Zbl 0256.12001. doi:10.1007/978-1-4684-9884-4.

Посилання

Каталог унімодулярних ґраток Ніла Слоуна.
послідовність A005134 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.