Уявне число
Уявне число - це комплексне число, яке може бути записане як дійсне число, помножене на уявну одиницю і, що визначається властивістю Квадрат числа b*i дорівнює −b2. Наприклад, 5*і - це уявне число, що при піднесенні до квадрата дає -25. За винятком 0 (що є як реальним, так і уявним числом) уявні числа при піднесенні до квадрата дають від'ємні числа.
| ... (повторюється послідовність виділена синім) |
| i−3 = i |
| i−2 = −1 |
| i−1 = −i |
| i0 = 1 |
| i1 = i |
| i2 = −1 |
| i3 = −i |
| i4 = 1 |
| i5 = i |
| i6 = −1 |
| in = in(mod 4) |
Якщо уявне число b*i додати до дійсного числа а, то отримаємо комплексне число виду а+b*i, де числа а і b називаються відповідно дійсна та уявна частини комплексного числа. Таким чином, уявні числа можна розглядати як комплексні, у яких дійсна частина дорівнює нулю. Зараз термін «уявне число» означає комплексне число, у якого дійсна частина дорівнює нулю, тобто число виду b*i.
Деякі автори використовують термін «чисто уявне число», аби вказати на уявне число, а термін «уявне число», щоб позначити будь-яке комплексне число, що не є дійсним (тобто має ненульову уявну частину).
Історія
Хоч Герон Александрійський вважається першим, хто розробив ці числа, Рафаель Бомбеллі першим записав правила множення комплексних чисел у 1572 році. Але ця концепція була опублікована ще раніше, наприклад, у праці Джироламо Кардано. На той час значення таких чисел було мало зрозумілим, і вони вважалися вигаданими та непотрібними, як і нуль та від’ємні числа колись. На те, щоб зрозуміти користь від уявних чисел, багатьом вченим знадобилось немало часу. Одним з таких вчених був Рене Декарт, який написав про уявні числа у своїй праці «Геометрія», де термін «уявний» було використано у зневажливому значенні. Користь уявних чисел не була широко визнана до появи робіт Леонарда Ейлера (1707-1783) і Карла Фрідріха Гаусса (1777-1855). Геометричне представлення комплексних чисел як точок на площині було вперше описано Каспаром Весселем (1745-1818).
У 1843 фізик та математик Вільям Роуен Гамільтон переніс ідею осі уявних чисел на площині до тривимірного простору уявних кватерніонів.
З розвитком теорій фактор-кілець та кілець многочленів концепція уявних чисел ставала все більш значущою, але потім було винайдено інші уявні числа, як, наприклад, бі-комплексне число j, що при піднесенні до квадрата дає +1. Ця ідея вперше з’явилася у статтях Джеймса Кокла у 1848 році.
Геометрична інтерпретація
Геометрично уявні числа знаходяться на вертикальній осі площини комплексних чисел, тобто перпендикулярно до осі дійсних чисел. Один зі способів представлення уявних чисел – розглянути стандартну числову вісь, значення додатних чисел на якій збільшується при русі праворуч, а від’ємних – ліворуч. Через точку 0 на осі Х проходить вісь Y, значення чисел на якій зростають у напрямку вгору. Тоді «додатні» уявні числа збільшують значення при русі вгору, а «від’ємні» - вниз. Цю вертикальну вісь часто називають «уявною» та позначають iℝ, , або ℑ.
При такому зображенні множення на -1 відповідає обертанню на 180 градусів відносно початку координат. Множення на і відповідає обертанню на 90 градусів у «додатному» напрямку (тобто проти годинникової стрілки), а рівняння i2 = −1 означає, що, якщо зробити два оберти на 90 градусів відносно 0, кінцевим результатом буде один оберт на 180 градусів. Слід звернути увагу на те, що при оберті у «від’ємному» напрямку (тобто за годинниковою стрілкою) результат також задовольняє цьому рівнянню. Це відображає той факт, що й –і є коренем рівняння x2 = −1.
Перемноження квадратних коренів
Треба бути обережним, перемножуючи квадратні корені від’ємних чисел. Наприклад, таке міркування не є вірним:
Помилка в тому, що правило , де арифметичне значення кореня розглянуто для кожного випадку, є дійсним лише якщо x та y відповідним чином обмежені. Не можна поширювати це визначення арифметичного значення кореня на квадратні корені всіх комплексних чисел таким чином, при якому зберігається правильність законів множення. Отже у такому контексті повинно розглядатися як беззмістовний, або двозначний вираз, що може набувати значень і та –і.
