Фермі-газ

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе — Ейнштейна) при ${\displaystyle T=0}$ дорівнює ${\displaystyle W_{0}=0}$. Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу ${\displaystyle W_{0}}$ із ${\displaystyle N}$ частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із ${\displaystyle N}$ квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія ${\displaystyle W_{0}}$ такого газу при ${\displaystyle T=0}$ буде відмінною від нуля.

Величину ${\displaystyle W_{0}}$ не важко обчислити. Позначивши через ${\displaystyle \mu _{0}}$ енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при ${\displaystyle T=0}$. При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче ${\displaystyle \mu _{0}}$ буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище ${\displaystyle \mu _{0}}$ будуть вільними. Тому повинно існувати точно ${\displaystyle N}$ станів з енергією нижче або рівній ${\displaystyle \mu _{0}}$. Цієї умови достатньо для знаходження ${\displaystyle \mu _{0}}$. Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам ${\displaystyle \mathbf {k} }$ інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на ${\displaystyle h^{3}}$:

${\displaystyle {\frac {g}{h^{3}}}\iint _{}^{}4\pi p^{2}\,dr\,dp=V{\frac {g}{h^{3}}}\int _{}^{}4\pi p^{2}\,dp}$

де ${\displaystyle g-\ }$ число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число ${\displaystyle g=2\ }$, для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від ${\displaystyle p=0}$ до значення ${\displaystyle p_{0}}$, визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при ${\displaystyle T=0}$ стану з енергією ${\displaystyle \mu _{0}=(2m)^{-1}p_{0}^{2}}$, та прирівнюючи результат до ${\displaystyle N}$, отримуємо із врахуванням того, що ${\displaystyle \rho =N/V}$:

${\displaystyle N=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}p_{0}^{3}=V{\frac {g}{h^{3}}}{\frac {4\pi }{3}}(2m\mu _{0})^{2/3}}$

${\displaystyle p_{0}=({\frac {3}{4\pi g\rho }})^{1/3}h}$

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {p_{0}^{2}}{2m}}={\frac {h^{2}}{2m}}({\frac {3}{4\pi g\rho }})^{2/3}}$

або для електронів з ${\displaystyle g=2\ }$:

${\displaystyle \mu _{0}={\frac {h^{2}}{8m}}({\frac {3\rho }{\pi }})^{2/3},g=2}$

Величину ${\displaystyle \mu _{0}}$, найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Для ненульових значень параметра ${\displaystyle \beta =1/kT}$ густину числа електронів ${\displaystyle N(\epsilon )}$ в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

${\displaystyle {\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{-3/2}\int _{}^{}\epsilon ^{1/2}\,d\epsilon }$

на множник ${\displaystyle {\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}}$, який дає число електронів на один квантовий стан:

${\displaystyle N(\epsilon )={\frac {3}{2}}N/\mu _{0}^{-3/2}{\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}}$

де величина ${\displaystyle \mu _{0}}$ є хімічний потенціал при ${\displaystyle T=0}$, а ${\displaystyle \mu }$- хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням ${\displaystyle \epsilon }$, то ми можемо визначити ${\displaystyle \mu }$ як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }N(\epsilon )\,d\epsilon }$ повного числа частинок ${\displaystyle N}$. Звідси видно, що для ${\displaystyle N(\epsilon )}$ величина ${\displaystyle mu}$ є функція параметрів ${\displaystyle mu_{0}}$ та ${\displaystyle \beta }$.

Енергію можна знайти із співвідношення:

${\displaystyle W=\int _{0}^{\infty }\epsilon N(\epsilon )\,d\epsilon }$,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }f(\epsilon )g(\epsilon )\,d\epsilon }$,

в якому функція ${\displaystyle f(\epsilon )}$ є деяка проста та неперервна функція від ${\displaystyle \epsilon }$, наприклад ${\displaystyle \epsilon ^{1/2}}$ або ${\displaystyle \epsilon ^{3/2}}$, та

${\displaystyle g(\epsilon )={\frac {1}{1+\exp[\beta (\epsilon -\mu )]}}}$.

Слід відзначити, що для більшості металів величина ${\displaystyle \mu _{0}/k}$ має порядок від ${\displaystyle 5\cdot 10^{4}}$ до ${\displaystyle 10^{5}}$ К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

${\displaystyle \mu =\mu _{0}[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}(\beta \mu _{0})^{-2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}(\beta \mu _{0})^{-4}+...]}$,

яке виражає хімічний потенціал ${\displaystyle \mu }$ через параметри ${\displaystyle \beta }$ та ${\displaystyle \mu _{0}}$- хімічний потенціал при ${\displaystyle T=0}$. Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає ${\displaystyle (\beta \mu _{0})^{-2}\approx 10^{-4}}$, що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

• Енергія Фермі
• Рівень Фермі
• Модель Фермі-газу

• Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
• Seiringer, Robert -; The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas — Commun. Math. Phys. 261, 729—758 (2006) Архівовано 15 липня 2008 у Wayback Machine.
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004