Формула Бретшнайдера

Позначимо площу чотирикутника за S. Тоді ми маємо

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\text{площа }}\triangle ADB+{\text{площа }}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Тому

${\displaystyle 2S=(ad)\sin \alpha +(bc)\sin \gamma .}$

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

З теореми косинусів випливає, що

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,}$

оскільки обидві сторони дорівнюють квадрату довжини діагоналі BD. Це можна записати як

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

Додавання цього до вищенаведеної формули для 4S² дає

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd(\cos(\alpha +\gamma )+1)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Зауважте, що: ${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {1+\cos(\alpha +\gamma )}{2}}}$ (тригонометрична тотожність правильна для всіх ${\displaystyle {\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$)

Слідуючи тими ж кроками, що й у формулі Брахмагупти, це можна записати так

${\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Введемо півпериметр

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

отримуємо

${\displaystyle 16S^{2}=16(p-d)(p-c)(p-b)(p-a)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

формула Бретшнайдера випливає після взяття квадратного кореня з обох сторін:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}}$

Формула Бретшнайдера узагальнює формулу Брахмагупти для площі вписаного чотирикутника, яка у свою чергу узагальнює формулу Герона для площі трикутника.

Тригонометричне перетворення у формулі Бретшнайдера для невписаного чотирикутника може бути подано нетригонометрично в термінах сторін та діагоналей e та f [1] [2]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}.\end{aligned}}}$

• Аюб Б. Аюб: Узагальнення теорем Птолемея і Брахмагупти . Математика та комп'ютерна освіта, том 41, № 1, 2007, ISSN 0730-8639
• EW Hobson : Трактат про плоску тригонометрію . Cambridge University Press, 1918, с.   204–205 ( онлайн-копія )
• CA Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 225-261 ( електронна копія, німецька )
• F. Strehlke: Zwei neue Sätze vom ebenen і sphärischen Viereck і Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes . Архітектура математики і фізики, група 2, 1842, с. 323-326 ( електронна копія, німецька )

• Weisstein, Eric W. Bretschneider's formula(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Bretschneider's formula на proofwiki.org