Чотирикутник

В опуклих чотирикутників всі внутрішні кути є меншими за 180°, а дві діагоналі знаходяться в середині чотирикутника.

• Неправильний чотирикутник: не має паралельних сторін.
• Трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельною.
• Рівнобічна трапеція: одна пара протилежних сторін є паралельними, а кути нахилу сторін при основі є рівними. Альтернативними визначеннями є: чотирикутник що має вісь симетрії, яка перетинає пару протилежних сторін, або трапеція із діагоналями рівної довжини.
• Паралелограм: чотирикутник із двома парами паралельних сторін. еквівалентною умовою є те, що його протилежні сторони мають однакову довжину; що протилежні кути рівні; або що діагоналі перетинаються і ділять одна одну навпіл. До паралелограмів відноситься ромб, прямокутник, а також квадрат.
• Ромб: всі чотири сторони мають однакову довжину. Або еквівалентно: діагоналі перпендикулярні і перетином ділять навпіл одна одну. Не формально це є «сплюснутий квадрат» (але строго математично квадрат теж є ромбом).
• Ромбоїд: паралелограм в якого суміжні сторони мають різні довжини а деякі кути тупими (не має прямих кутів). Деякі джерела називають його паралелограмом, що не є ромбом.[1]
• Прямокутник: всі чотири кути є прямими кутами. Еквівалентно: діагоналі мають однакову довжину і при перетині діляться навпіл. До прямокутників відноситься і квадрат.
• Квадрат (правильний прямокутник): всі чотири сторони мають однакову довжину, а чотири кути є прямими. Діагоналі перетинають одна одну навпіл і під прямим кутом, а також мають однакову довжину. Чотирикутник є квадратом тоді і лише тоді, коли він одночасно є ромбом і прямокутником (чотири рівні сторони і чотири однакові кути).
• Дельтоїд: дві пари прилеглих сторін мають однакову довжину. З цього випливає, що одна з діагоналей розділяє дельтоїд на конгруентні трикутники, і два кути між парами нерівних сторін мають однакову величину. Також, його діагоналі є перпендикулярними. До дельтоїдів відноситься ромб.

• Описаний чотирикутник: чотири сторони є дотичними до вписаного кола. Опуклий чотирикутник може описати коло тоді і лише тоді коли суми його протилежних сторін рівні.
• Описана трапеція: трапеція, чотири сторони якої є дотичними до вписаного кола.
• Вписаний чотирикутник: чотири вершини лежать на описаному колі. Опуклий чотирикутник є вписаним, тоді і тільки тоді коли суми протилежних кутів дорівнюють 180°.
• Прямокутний дельтоїд: дельтоїд, дві протилежні кути якого є прямими. Він є одним із видів вписаних чотирикутників.
• Біцентричний чотирикутник: чотирикутник, який одночасно є вписаним у коло і описаним колом.
• Ортодіагональний чотирикутник: діагоналі перетинаються під прямим кутом.
• Зовнішньо-описаний чотирикутник: продовження чотирьох сторін є дотичними до зовнішнього кола.

В увігнутих чотирикутників, один із внутрішніх кутів є більшим за 180° а одна із двох діагоналей лежить за межами чотирикутника.

Площа чотирикутника може бути задана за допомогою тригонометричних функцій наступним чином:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ef\cdot \sin \theta ,}$

де довжини кожної діагоналі задані як e і f, а кут між ними дорівнює θ.[6] У випадку коли діагоналі перпендикулярні (тобто для ромба, квадрата і дельтоїда), ця формула спрощується до ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ef}$ оскільки θ дорівнює 90°.

Площу можна розрахувати через бімедіани наступним чином[7]

${\displaystyle S=mn\cdot \sin \varphi ,}$

Де довжини медіан дорівнюють m і n, а кут між ними дорівнює φ.

Формула Бретшнайдера[8] визначає площу черед дві сторони і два протилежних кута:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(\angle A+\angle C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {\angle A+\angle C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}}$

де сторони відповідно задані як a, b, c, d, і де s є півпериметром, а A і C є двома (будь-якими) протилежними кутами. Для вписаного чотирикутника цей вираз спрощується до формули Брамагупти, оскільки A + C = 180°.

Іншою формулою для розрахунку площі через кути і сторони, де кут C знаходиться між сторонами b і c, а кут A між сторонами a та d, є

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ad\cdot \sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\cdot \sin {C}.}$

У випадку із вписаним чотирикутником, остання формула скорочується до ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

Для паралелограма, де обидві пари протилежних сторін і кутів є рівними, ця формула в свою чергу спрощується до виразу ${\displaystyle S=ab\cdot \sin {A}.}$

Альтернативним чином, можна визначити площу чотирикутника через сторони і кут перетину його діагоналей θ, для тих випадків доки цей кут не дорівнює 90°:[9]

${\displaystyle S={\frac {|{\mathrm {tg} \,\theta }|}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

У випадку з паралелограмом, остання формула буде виглядати як ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|{\mathrm {tg} \,\theta }|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Іншою формулою, що містить сторони a, b, c, d є[7]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}\sin {\varphi }}$

де x є відстанню між середніми точками діагоналей, а φ є кутом між бімедіанами.

І ще однією тригонометричною формулою, що містить сторони a, b, c, d і кут α між a і b є:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab\cdot \sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}},}$

що може використовуватися і як площа увігнутого чотирикутника (що має увігнуту частину протилежну до кута α) змінивши перший знак + на -.

Дві наступні формули задають площу S чотирикутника через сторони a, b, c, d, напівперіметр s, і діагоналі e, f:

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}},}$[10]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$[11]

Перше рівняння зводиться до формули Брахмагупти для вписаного чотирикутника, оскільки в такому випадку ef = ac + bd.

Площу також можна задати через бімедіани m, n і діагоналі e, f:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+e)(m+n-e)(m+n+f)(m+n-f)}},}$[12]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {e^{2}f^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$[13]^{:Thm. 7}

Насправді, будь-яке з трьох значень m, n, e, і f є достатнім для визначення площі, оскільки для будь-якого чотирикутника ці чотири значення пов'язані рівнянням ${\displaystyle e^{2}+f^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$[14]^{:p. 126} Відповідними спрощеними виразами будуть наступні рівняння для розрахунку площі:[15]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-e^{2}]\cdot [e^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

якщо дані довжини двох бімедіан і діагональ, і[15]

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(e+f)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(e-f)^{2}]}},}$

якщо відомі довжини двох діагоналей і одна бімедіана.

Площу чотирикутника ABCD можна розрахувати за допомогою векторів. Нехай вектори AC і BD утворюють діагоналі від A до C і від B до D. Площа чотирикутника тоді дорівнюватиме

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

що є половиною величини векторного добутку векторів AC і BD. У двовимірному Евклідовому просторі, вектор AC можна задати у вигляді вектора у Декартовому просторі як (x₁,y₁) і вектор BD як (x₂,y₂), тому рівняння можна переписати наступним чином:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

Довжини діагоналей опуклого чотирикутника ABCD із відповідними вершинами A, B, C, D і сторонами a = AB, b = BC, c = CD, і d = DA, довжини діагоналей p = AC і q = BD можна розрахувати за допомогою теореми косинусів для кожного трикутника, що утворені діагоналями і двома сторонами чотирикутника. Таким чином

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

і

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

Інші, більш симетричні формули для знаходження довжин діагоналей:[16]

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

і

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Для будь-якого опуклого чотирикутника ABCD, сума квадратів чотирьох сторін дорівнює сумі квадратів двох діагоналей плюс чотири квадрати лінійного сегменту, що сполучає середні точки діагоналей. Тобто

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

де x це відстань між середніми точками діагоналей.[14]^:p.126 Це рівняння відоме як теорема Ейлера про чотирикутник і є узагальненням для правила паралелограма.

Німецький математик Карл Антон Бретшнейдер в 1842 вивів наступне узагальнення для теореми Птолемея, стосовно добутку діагоналей опуклого чотирикутника[17]

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Це рівняння можна вважати аналогічним до теореми косинусів для чотирикутника. Для вписаного чотирикутника, в якого ${\displaystyle {(A+C)}=180^{\circ }}$, це рівняння спрощується до pq = ac + bd. Оскільки ${\displaystyle \cos {(A+C)}\geqslant -1}$, таким чином, це також доводить нерівність Птолемея.

Якщо опуклий чотирикутник має сторони a, b, c, d і діагоналі p, q, тоді його площа S задовольняє нерівностям[24]

${\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$, що буде рівністю лише для прямокутника.

${\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$ , що буде рівністю лише для квадрата.

${\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$, що буде рівністю лише якщо дві діагоналі є перпендикулярними і мають однакову довжину.

${\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$, що є рівністю лише для прямокутника.[7]

Із формули Бретшнайдера прямо випливає, що площа чотирикутника задовольнятиме нерівності

${\displaystyle S\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

що буде рівністю тоді й лише тоді коли чотирикутник є вписаним чотирикутником або виродженим, тобто таким що довжина однієї зі сторін дорівнюватиме сумі довжин інших трьох (тобто він перетворився у відрізок, тому його площа дорівнює нулю).

Площа будь-якого чотирикутника також задовольнятиме нерівності[25]

${\displaystyle \displaystyle S\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Позначивши периметр чотирикутника як L, матимемо наступне[25]^:p.114

${\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

що буде рівністю лише для випадку із квадратом.

Площа опуклого чотирикутника також задовольняє:

${\displaystyle S\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

де довжини діагоналей задані як p і q, що буде рівністю лише за умови, що діагоналі перпендикулярні одна одній.

Наслідком із теореми Ейлера про чотирикутники є наступна нерівність

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

де рівність буде справедливою, тоді й тільки тоді коли чотирикутник є паралелограмом.

Ейлер також узагальнив теорему Птолемея, що є рівністю для вписаного чотирикутника, у нерівність для опуклого чотирикутника. Нерівність задає наступне:

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

що буде рівністю тоді й лише тоді, коли чотирикутник є вписаним.[14]^:p.128–129.

В опуклому багатокутнику бімедіани m, n і діагоналі p, q пов'язані між собою нерівністю

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

де рівність буде справедливою тоді і лише тоді, коли діагоналі є рівними.[26]^:Prop.1 Це прямо випливає із рівності для чотирикутника ${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Сторони a, b, c, і d будь-якого чотирикутника задовольняють нерівностям[27]^:p.228,#275

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

і [27]^:p.234,#466

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.}$