Вписаний чотирикутник

В Евклідовій геометрії вписаний чотирикутник — це чотирикутник, вершини якого лежать на одному колі. Це коло називається описаним колом, а вершини, як кажуть, є конциклічними. Центр кола та його радіус називають центром окружності та окружністю. Інші назви цих чотирикутників — це конциклічні чотирикутники та хордальні чотирикутники, оскільки сторони чотирикутника — це хорди вписаного кола. Зазвичай чотирикутник вважається опуклим, але є і перехрещені вписані чотирикутники. Формули та властивості, наведені нижче, виконуються за умови, що чотирикутник опуклий.

Приклади вписаних чотирикутників.

Усі трикутники можна вписати в коло, але не кожен чотирикутник можна вписати в коло. Прикладом чотирикутника, який не можна вписати, є не квадратний ромб. У розділі характеристики наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був вписаним.

Особливі випадки

Будь-який квадрат, прямокутник, рівнобедрена трапеція або антипаралелограм можна вписати. Дельтоїд можна вписати, тоді і лише тоді, якщо він має два прямих кута. Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є вписаним, а зовнішньо-описаний — чотирикутник, у якого прямі, на яких лежать його сторони, є дотичними до певного кола. Гармонійний чотирикутник — це чотирикутник, у якого добутки довжин протилежних сторін рівні.

Характеристики

Вписаний чотирикутник

ABCD

Опуклий чотирикутник можна вписати тоді й лише тоді, коли чотири перпендикуляри до середин сторін є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці. Ця спільна точка є центром описаного кола[1].

Опуклий чотирикутник $ABCD$ можна вписати тоді і лише тоді, коли його протилежні кути є суміжними, тобто[1][2]

\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ (=180^{\circ }).

Ця теорема є положенням 22 в трактаті Евкліда «Начала»[3].

Окрім того, опуклий чотирикутник можна вписати тоді і тільки тоді, коли кожен його зовнішній кут дорівнює протилежному внутрішньому куту.

Ще одна необхідна і достатня умова, щоб опуклий чотирикутник $ABCD$ був вписаним — кут між стороною та діагоналлю повинен дорівнювати куту між протилежною стороною та іншою діагоналлю[4]. Тобто, наприклад,

\angle ACB=\angle ADB.

Теорема Птолемея виражає добуток довжин двох діагоналей $e$ і $f$ вписаного чотирикутника, як суму добутків протилежних сторін[5]^:p.25[2]:

\displaystyle ef=ac+bd.

ABCD

— вписаний чотирикутник.

EFG

(синій) — це діагональний трикутник

ABCD

. Точка T перетину бімедіанів

ABCD

належить до кола дев'яти точок

EFG

.

Має місце обернена теорема. Тобто, якщо це рівняння виконується для опуклого чотирикутника, тоді він буде вписаним.

У опуклому чотирикутнику $ABCD$ нехай $EFG$ є діагональним трикутником ABCD і нехай $\omega$ — коло дев'яти точок $EFG$ . $ABCD$ можна вписати тоді і лише тоді, коли точка перетину бімедіанів $ABCD$ належить колу дев'яти точок $\omega$ [6][7][2].

Якщо дві прямі, одна, що містить відрізок $AC$ , а інша, що містить відрізок $BD$ , перетинаються в точці $P$ , то чотири точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ є конциклічними (тобто, є вершинами вписаного чотирикутника, без урахування порядку вершин), тоді й лише тоді, коли[8]

\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD.

Точка перетину $P$ може бути як зовні так і всередині кола. У першому випадку описаний чотирикутник — $ABCD$ , а в другому випадку вписаний чотирикутник — $ABDC$ . Коли перетин є внутрішнім, рівність зазначає, що добуток відрізка довжини, на який $P$ ділить одну діагональ, дорівнює іншій діагоналі. Це відомо як теорема про перетин хорд, оскільки діагоналі вписаного чотирикутника є хордами.

Ще одна характеристика полягає в тому, що опуклий чотирикутник $ABCD$ є вписаним тоді і лише тоді[9], коли

\mathrm {tg} {\frac {\alpha }{2}}\mathrm {tg} {\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {tg} {\frac {\beta }{2}}\mathrm {tg} {\frac {\delta }{2}}=1.

Площа

Площа $K$ вписаного чотирикутника зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ обчислюється за формулою Брахмагупти[5]^:p.24

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

де півпериметр $s = 12 (a + b + c + d)$ . Формула є наслідком формули Бретшнайдера для довільного чотирикутника, оскільки протилежні кути є суміжними для вписаного чотирикутника. Якщо $d = 0$ , то вписаний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до формули Герона.

Вписаний чотирикутник має максимальну площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність довжин сторін. Це ще один наслідок формули Бретшнайдера. Також це можна довести за допомогою математичного аналізу[10].

Якщо є чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми трьох інших, то вони будуть сторонами для трьох неконгруентних вписаних чотирикутників[11], які за формулою Брахмагупти мають однакову площу. Зокрема, для сторін $a$ , $b$ , $c$ і $d$ сторона $a$ може бути протилежною будь-якій зі сторін $b$ , $c$ або $d$ .

Площу вписаного чотирикутника з послідовними сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ та кутом $B$ між сторонами $a$ і $b$ можна виразити як[5]^:p.25

K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

або[5]^:p.26

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

,

де $θ$ — будь-який кут між діагоналями. За умови, що $A$ не є прямим кутом, площа також може бути виражена як[5]^:p.26

K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\mathrm {tg} {A}.

Інша формула така[12]^:p.83

\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta },

де $R$ — радіус описаного кола. Як прямий наслідок цієї формули[13],

K\leqslant 2R^{2}

де рівність буде, тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.

Діагоналі

У вписаному чотирикутнику з послідовними вершинами $A$ , $B$ , $C$ , $D$ і сторонами $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ і $d = DA$ , довжини діагоналей $p = AC$ і $q = BD$ можна виразити через довжини сторін як[5]^:p.25,[14][15]^{:p. 84}

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

and

q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}

тому доводить теорему Птолемея

pq=ac+bd.

Відповідно до другої теореми Птолемея[5]^:p.25,[14]

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

,

в тих же позначеннях, що і вище.

Для суми діагоналей маємо нерівність[16]^:p.123,#2975

p+q\geqslant 2{\sqrt {ac+bd}}.

Рівність справедлива тоді й лише тоді, коли діагоналі мають однакову довжину, що можна довести за допомогою нерівності середнього арифметичного та геометричного.

Більше того[16]^:p.64,#1639,

(p+q)^{2}\leqslant (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

У будь-якому опуклому чотирикутнику дві діагоналі розділяють чотирикутник на чотири трикутники; у вписаному чотирикутнику протилежні пари цих чотирьох трикутників подібні між собою.

Якщо $M$ і $N$ — середини діагоналей $AC$ і $BD$ , то[17]

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|,

де $E$ і $F$ — точки перетину прямих, на яких лежать протилежні сторони.

Якщо $ABCD$ — вписаний чотирикутник, де $AC$ перетинається з $BD$ у точці $E$ , то[18]

{\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Множина сторін, які можуть утворювати вписаний чотирикутник, може бути впорядкована у будь-якій з трьох різних послідовностей, кожна з яких може утворювати вписаний чотирикутник тієї самої площі в одному і тому ж колі (їх площа буде однакова за формулою площі Брахмагупти). Будь-які з цих вписаних чотирикутників мають одну спільну довжину діагоналі[15]^{:p. 84}.

Формули кута

Для вписаного чотирикутника із послідовними сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , півпериметром $s$ та кутом $A$ між сторонами $a$ та $d$ тригонометричні функції від $A$ задаються формулами[19]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc)}},

\sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},

\mathrm {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.

Кут $θ$ між діагоналями задовольняє рівнянню[5]^:p.26

\mathrm {tg} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.

Якщо продовження протилежних сторін $a$ і $c$ перетинаються під кутом $φ$ , то

\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}},

де $s$ — півпериметр[5]^:p.31.

Формула описаного кола Парамешвара

Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ і півпериметром $s$ має описане коло радіуса[14][20]

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.

Цю формулу отримав індійський математик Ватассері Парамешвара у 15 столітті.

Якщо скористатися формулою Брахмагупти, формулу Парамешвари можна отримати в наступному вигляді:

4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}},

де $K$ — площа вписаного чотирикутника.

Антицентр та колінеарність

Для кожної сторони вписаного чотирикутника можна провести пряму, яка буде перпендикулярна цій стороні і проходити через середину протилежної сторони. Таких прямих буде чотири і вони є конкурентними прямими[21]^:p.131;[22]. Відрізки цих прямих між сторонами називають бівисотами[23]. Спільна точка називається антицентром. Він має властивість бути відображенням описаного кола у «центроїд» (перетин бімедіан). Таким чином, у вписаному чотирикутнику центр описаного кола, «центроїд» та антицентр є колінеарними[22], тобто, лежать на одній прямій.

Якщо діагоналі вписаного чотирикутника перетинаються в $P$ , а середні точки діагоналей позначено як $M$ і $N$ , то антицентр чотирикутника є ортоцентром трикутника $MNP$ .

Інші властивості

Японська теорема

У вписаному чотирикутнику $ABCD$ інцентри M₁, M₂, M₃, M₄ (див. рисунок праворуч) у трикутниках $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ , та $CDA$ є вершинами прямокутника. Це одна з теорем, відома як японська теорема. Ортоцентри цих же чотирьох трикутників є вершинами чотирикутника конгруентного $ABCD$ , а центроїди в цих чотирьох трикутниках — вершини іншого вписаного чотирикутника[4].
У вписаному чотирикутнику $ABCD$ з центром описаного кола — $O$ , через $P$ позначимо точку, в якій перетинаються діагоналі $AC$ і $BD$ . Тоді кут $APB$ — це середнє арифметичне кутів $AOB$ і $COD$ . Це прямий наслідок теореми про вписаний кут та теореми про зовнішній кут.
Не існує вписаних чотирикутників площа яких є раціональним числом, а сторони є нерівними раціональними числами або в арифметичній, або в геометричній прогресії[24].
Якщо вписаний чотирикутник має довжини сторін, які утворюють арифметичну прогресію, чотирикутник також є зовнішньо-описаним.
Якщо прямі на яких лежать протилежні сторони вписаного чотирикутника перетинаються в точках $E$ та $F$ , то внутрішні бісектриси кутів на $E$ і $F$ — перпендикулярні[11].

Чотирикутники Брахмагупти

Чотирикутник Брахмагупти[25] — це вписаний чотирикутник з цілими довжинами сторонами, цілими довжинами діагоналей та цілою площею. Усі чотирикутники Брахмагупти зі сторонами $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , діагоналями $e$ , $f$ , площею $K$ і радіусом описаного кола $R$ можна отримати, якщо позбутися знаменників в наступних виразах, що містять раціональні параметри $t$ , $u$ і $v$ :

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]

b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Ортодіагональний випадок

Описане коло і площа

Для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним (має перпендикулярні діагоналі), припустимо, що перетин діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжини $p 1$ та $p 2$ , а іншу діагональ ділить на відрізки довжиною $q 1$ та $q 2$ . Тоді[26] (перша рівність — це твердження 11 у «Книзі лем» Архімеда)

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

де $D$ — діаметр описаного кола. Це справедливо, оскільки діагоналі — це перпендикулярні хорди кола. З цих рівнянь випливає, що радіус описаного кола $R$ може бути виражений як

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

або, через сторони чотирикутника, як[21]

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

З цього також випливає[21]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Таким чином, згідно з теоремою Ейлера про чотирикутник, радіус описаного кола може бути виражений через діагоналі $p$ і $q$ та відстань $x$ між серединами діагоналей як

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.

Формула для площі $K$ вписаного ортодіагонального чотирикутника через довжини сторін отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея і формули площі ортодіагонального чотирикутника. Результат[27]^:p.222:

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Інші властивості

У вписаному чотирикутнику антицентр збігається з точкою, де перетинаються діагоналі[21].
Теорема Брамагупти стверджує, що для вписаного чотирикутника, який також є ортодіагональним, перпендикуляр до будь-якої сторони, що проходить через точку перетину діагоналей, ділить протилежну сторону навпіл[21].
Якщо вписаний чотирикутник також є ортодіагональним, відстань від центру описаного кола до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони[21].
У вписаному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами діагоналей дорівнює відстані між центром описаного кола та точкою перетину діагоналей[21].

Вписані сферичні чотирикутники

У сферичній геометрії сферичний чотирикутник, утворений при перетині чотирьох великих кіл, буде вписаним тоді, і лише тоді, коли суми протилежних кутів однакові, тобто α + γ = β + δ для послідовних кутів α, β, γ, δ чотирикутника[28]. В одному напрямку ця теорема була доведена І. А. Лекселем у 1786 році[29]. Лексель показав, що у сферичному чотирикутнику, вписаному в мале коло сфери, суми протилежних кутів рівні, і що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Перша з цих теорем — сферичний аналог плоскої теореми, а друга теорема — їй дуально, тобто, вона є результатом заміни великих кіл та їх полюсів[30]. Кіпер та ін.[31] довели обернену теорему: «Якщо суми протилежних сторін рівні в сферичному чотирикутнику, то для цього чотирикутника існує вписане коло».

Див. також

Вписаний кут
Описаний чотирикутник
Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник
Теорема про метелика
Описане коло
Степінь точки відносно кола
Таблиця акордів Птолемея
П'ятикутник Роббінса

Примітки

Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008). 10. Cyclic quadrilaterals. The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition. Research in mathematics education. IAP. с. 63–65. ISBN 978-1-59311-695-8.
Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2019). Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.
Joyce, D. E. (June 1997). Book 3, Proposition 22. Euclid's Elements. Clark University. Проігноровано невідомий параметр |title-link= (довідка)
Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004). 2.3 Cyclic quads. Mathematical Olympiad Treasures. Springer. с. 44–46, 50. ISBN 978-0-8176-4305-8. MR 2025063.
Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930]. Advanced Trigonometry. Courier Dover. ISBN 978-0-486-43229-8.
Fraivert, David (July 2019). New points that belong to the nine-point circle. The Mathematical Gazette 103 (557): 222–232. doi:10.1017/mag.2019.53.
Fraivert, David (2018). New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals. International Journal of Geometry 7 (1): 5–16.
Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates. Highperception. с. 179. ISBN 978-1906338008. OCLC 213434422.
Hajja, Mowaffaq (2008). A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic. Forum Geometricorum 8: 103–6.
Peter, Thomas (September 2003). Maximizing the area of a quadrilateral. The College Mathematics Journal 34 (4): 315–6. JSTOR 3595770. doi:10.2307/3595770.
Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967). 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula. Geometry Revisited. Mathematical Association of America. с. 57, 60. ISBN 978-0-88385-619-2.
Prasolov, Viktor. Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry. Архів оригіналу за 21 вересня 2018. Процитовано 6 листопада 2011.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009). 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. Mathematical Association of America. с. 64. ISBN 978-0-88385-342-9.
Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007). On the diagonals of a cyclic quadrilateral. Forum Geometricorum 7: 147–9.
Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», 2007, .
ABCD is a cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively.... Art of Problem Solving. 2010.
Олександр Богомольний, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, , Accessed 18 March 2014.
Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929). Trigonometry. Cambridge University Press. с. 202. OCLC 429528983.
Hoehn, Larry (March 2000). Circumradius of a cyclic quadrilateral. Mathematical Gazette 84 (499): 69–70. JSTOR 3621477. doi:10.2307/3621477.
Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952]. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd). Courier Dover. с. 131, 137–8. ISBN 978-0-486-45805-2. OCLC 78063045.
Honsberger, Ross (1995). 4.2 Cyclic quadrilaterals. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. New Mathematical Library 37. Cambridge University Press. с. 35–39. ISBN 978-0-88385-639-0.
Weisstein, Eric W. Maltitude(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999). Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression. Bulletin of the Australian Mathematical Society 59 (2): 263–9. MR 1680787. doi:10.1017/S0004972700032883.
Sastry, K.R.S. (2002). Brahmagupta quadrilaterals. Forum Geometricorum 2: 167–173.
Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1970). Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.. Challenging Problems in Geometry (вид. 2nd). Courier Dover. с. 104–5. ISBN 978-0-486-69154-1.
Josefsson, Martin (2016). Properties of Pythagorean quadrilaterals. Математичний вісник 100 (July): 213–224. doi:10.1017/mag.2016.57..
Wimmer, Lienhard (2011). Cyclic polygons in non-Euclidean geometry. Elemente der Mathematik 66 (2): 74–82.
Lexell, A. J. (1786). De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum. Acta Acad. Sci. Petropol. 6 (1): 58–103.
Rosenfeld, B. A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 12. ISBN 978-1-4612-6449-1. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1.
Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 травня 2012). Homothetic Jitterbug-like linkages. Mechanism and Machine Theory 51: 145–158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.

Подальше читання

D. Fraivert: Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral

Посилання

Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
Incenters in Cyclic Quadrilateral в cut-the-knot
Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral в cut-the-knot
Weisstein, Eric W. Cyclic quadrilateral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Euler centre and maltitudes of cyclic quadrilateral в Dynamic Geometry Sketches, інтерактивне геометричне креслення.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Usiskin-1] Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008). 10. Cyclic quadrilaterals. The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition. Research in mathematics education. IAP. с. 63–65. ISBN 978-1-59311-695-8.

[Fraivert-2] Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2019). Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology.

[3] Joyce, D. E. (June 1997). Book 3, Proposition 22. Euclid's Elements. Clark University. Проігноровано невідомий параметр |title-link= (довідка)

[Andreescu-4] Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004). 2.3 Cyclic quads. Mathematical Olympiad Treasures. Springer. с. 44–46, 50. ISBN 978-0-8176-4305-8. MR 2025063.

[Durell-5] Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930]. Advanced Trigonometry. Courier Dover. ISBN 978-0-486-43229-8.

[6] Fraivert, David (July 2019). New points that belong to the nine-point circle. The Mathematical Gazette 103 (557): 222–232. doi:10.1017/mag.2019.53.

[7] Fraivert, David (2018). New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals. International Journal of Geometry 7 (1): 5–16.

[8] Bradley, Christopher J. (2007). The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates. Highperception. с. 179. ISBN 978-1906338008. OCLC 213434422.

[9] Hajja, Mowaffaq (2008). A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic. Forum Geometricorum 8: 103–6.

[10] Peter, Thomas (September 2003). Maximizing the area of a quadrilateral. The College Mathematics Journal 34 (4): 315–6. JSTOR 3595770. doi:10.2307/3595770.

[Coxeter-11] Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967). 3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula. Geometry Revisited. Mathematical Association of America. с. 57, 60. ISBN 978-0-88385-619-2.

[12] Prasolov, Viktor. Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry. Архів оригіналу за 21 вересня 2018. Процитовано 6 листопада 2011.

[Alsina-13] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009). 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. Mathematical Association of America. с. 64. ISBN 978-0-88385-342-9.

[Alsina2-14] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007). On the diagonals of a cyclic quadrilateral. Forum Geometricorum 7: 147–9.

[Johnson-15] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[Crux-16] Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», 2007, .

[17] ABCD is a cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively.... Art of Problem Solving. 2010.

[18] Олександр Богомольний, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, , Accessed 18 March 2014.

[19] Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929). Trigonometry. Cambridge University Press. с. 202. OCLC 429528983.

[20] Hoehn, Larry (March 2000). Circumradius of a cyclic quadrilateral. Mathematical Gazette 84 (499): 69–70. JSTOR 3621477. doi:10.2307/3621477.

[Altshiller-Court-21] Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952]. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd). Courier Dover. с. 131, 137–8. ISBN 978-0-486-45805-2. OCLC 78063045.

[Honsberger-22] Honsberger, Ross (1995). 4.2 Cyclic quadrilaterals. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. New Mathematical Library 37. Cambridge University Press. с. 35–39. ISBN 978-0-88385-639-0.

[23] Weisstein, Eric W. Maltitude(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[Buchholz-24] Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999). Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression. Bulletin of the Australian Mathematical Society 59 (2): 263–9. MR 1680787. doi:10.1017/S0004972700032883.

[25] Sastry, K.R.S. (2002). Brahmagupta quadrilaterals. Forum Geometricorum 2: 167–173.

[26] Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1970). Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.. Challenging Problems in Geometry (вид. 2nd). Courier Dover. с. 104–5. ISBN 978-0-486-69154-1.

[27] Josefsson, Martin (2016). Properties of Pythagorean quadrilaterals. Математичний вісник 100 (July): 213–224. doi:10.1017/mag.2016.57..

[28] Wimmer, Lienhard (2011). Cyclic polygons in non-Euclidean geometry. Elemente der Mathematik 66 (2): 74–82.

[29] Lexell, A. J. (1786). De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum. Acta Acad. Sci. Petropol. 6 (1): 58–103.

[30] Rosenfeld, B. A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 12. ISBN 978-1-4612-6449-1. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1.

[31] Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 травня 2012). Homothetic Jitterbug-like linkages. Mechanism and Machine Theory 51: 145–158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.