Півпериметр

У будь-якому трикутнику будь-яка вершина і точка дотику описаного кола на протилежній стороні ділить периметр трикутника на дві рівні частини, тим самим створюючи два рівних шляхи, довжина яких дорівнює півпериметру. Якщо A, B, C, A', B', та C' такі, як показано на малюнку, то сегменти, які з'єднують вершину з точкою дотику описаного кола (AA', BB', та CC', позначені червоною лінією на діаграмі), називаються сплітери, а отже

${\displaystyle s=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|}$

${\displaystyle =|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.}$

Три сплітери перетинаються у точці Наґеля.

Клівер — це відрізок, який ділить навпіл периметр трикутника і має одну кінцеву точку в середині однієї з трьох сторін. Отже, будь-який клівер поділяє трикутник на дві частини, кожна з яких дорівнює півпериметру. Три клівери перетинаються в одній точці — у центрі кола Шпікера, яке виступає у ролі кола, вписаного в серединний трикутник; центр Шпікера є центром мас усіх сторін трикутника.

Лінія, що проходить через центр вписаного кола ділить периметр навпіл, тільки в тому випадку, коли він ділить навпіл площу.

Півпериметр трикутника дорівнює периметру його серединного трикутника.

За правилом нерівності трикутника, довжина найбільшої сторони трикутника менша за півпериметр.

Площа A будь-якого трикутника є добутком радіуса його вписаного кола на півпериметр:

${\displaystyle A=rs.}$

Площу трикутника також можна обчислити користуючись півпериметром та сторонами a, b, c за формулою Герона:

${\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.}$

Радіус описаного кола R трикутника можна обчислити за півпериметром та довжинами його сторін:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.}$

Цю формулу можна вивести з теореми синусів.

Радіус вписаного кола дорівнює

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.}$

Теорема котангенсів дає котангенси половини кутів у вершинах трикутника в значеннях його півпериметру, сторін та радіуса його вписаного кола.

Довжина бісектриси внутрішнього кута, протилежного стороні a, дорівнює[1]

${\displaystyle t_{a}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}.}$

У прямокутному трикутнику, радіус описаного кола на гіпотенузі дорівнює півпериметру. Півпериметр дорівнює сумі радіуса вписаного кола та подвійного радіуса описаного. Площа прямокутного трикутника дорівнює ${\displaystyle (s-a)(s-b)}$, де a і b — катети.