Функція Міттаг-Лефлера

Функція Міттаг-Лефлера — функція Ec(z) комплексної змінної z, введена Міттаг-Лефлером в 1905 році як узагальнення показникової функції:

\mathrm {E} _{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+1)}}

,

\alpha \in (0,+\infty )

В даній формулі $\Gamma$ позначає гамма-функцію. Для вказаних значень параметра $\alpha$ функція Міттаг-Лефлера є голоморфною на всій комплексній площині. Можна також визначити узагальнені функції Міттаг-Лефлера:

\mathrm {E} _{\alpha ,\beta }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (\alpha k+\beta )}}

,

\alpha ,\beta \in \mathbb {C}

.

Якщо дійсна частина $\alpha$ — додатне число то даний ряд є збіжним для всіх значень комплексного аргументу і функція є голоморфною на всій комплексній площині.

Приклади

Показникова функція:

E_{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (k+1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=\exp(z).

Функція помилок:

E_{1/2}(z)=\exp(z^{2})\operatorname {erfc} (-z).

Гіперболічний косинус:

E_{2}(z)=\cosh({\sqrt {z}}).

Сума геометричної прогресії:

E_{0}(z)={\frac {1}{1-z}}.

В даному прикладі параметр рівний нулю, тож функція не є голоморфною в точці 1.

Посилання

Функція Міттаг-Лефлера на сайті MathWorld

Література

Гольдберг А.А., Островский И.В., Распределение значений мероморфных функций, М., 1970.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.